При каких значениях x трёхчлен -x^2 - 1/7 x - 1/196 принимает неположительные значения?

Привет! Давай разберемся с этой задачей.

Нам нужно найти значения $$x$$, при которых трёхчлен $$-x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{1}{196}$$ будет меньше или равен нулю (неположительные значения).

Это значит, нам нужно решить неравенство:

\[ -x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{1}{196} \le 0 \]

Чтобы было удобнее, давай умножим всё неравенство на -1. Помни, что при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

\[ x^2 + \frac{1}{7}x + \frac{1}{196} \ge 0 \]

Теперь это похоже на квадратное уравнение. Давай найдем корни этого уравнения $$x^2 + \frac{1}{7}x + \frac{1}{196} = 0$$.

Можно использовать дискриминант. Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$, дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$.

В нашем случае $$a=1$$, $$b=\frac{1}{7}$$, $$c=\frac{1}{196}$$.

Вычислим дискриминант:

\[ D = \left(\frac{1}{7}\right)^2 - 4 \times 1 \times \frac{1}{196} \]

\[ D = \frac{1}{49} - \frac{4}{196} \]

Приведем дроби к общему знаменателю. $$196 = 49 \times 4$$.

\[ D = \frac{4}{196} - \frac{4}{196} = 0 \]

Дискриминант равен нулю! Это значит, что у нашего уравнения всего один корень.

Корень квадратного уравнения находится по формуле $$x = \frac{-b}{2a}$$.

\[ x = \frac{-\frac{1}{7}}{2 \times 1} = \frac{-\frac{1}{7}}{2} = -\frac{1}{14} \]

Итак, у нас есть один корень $$x = -\frac{1}{14}$$.

Теперь вернемся к нашему неравенству $$x^2 + \frac{1}{7}x + \frac{1}{196} \ge 0$$.

Парабола $$y = x^2 + \frac{1}{7}x + \frac{1}{196}$$ с ветвями вверх (потому что коэффициент при $$x^2$$ равен 1, то есть положителен) касается оси $$Ox$$ в одной точке $$x = -\frac{1}{14}$$.

Это означает, что значение $$x^2 + \frac{1}{7}x + \frac{1}{196}$$ будет больше или равно нулю для всех значений $$x$$.

То есть, наш трёхчлен $$-x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{1}{196}$$ будет неположительным (меньше или равен нулю) для всех $$x$$.

Однако, нужно внимательно посмотреть на варианты ответа.

Если мы посмотрим на исходное выражение $$-x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{1}{196}$$, то можно заметить, что это квадрат полной замены:

\[ -x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{1}{196} = -\left(x^2 + \frac{1}{7}x + \frac{1}{196}\right) = -\left(x + \frac{1}{14}\right)^2 \]

Теперь неравенство выглядит так:

\[ -\left(x + \frac{1}{14}\right)^2 \le 0 \]

Выражение $$\left(x + \frac{1}{14}\right)^2$$ всегда больше или равно нулю (так как это квадрат числа).

Тогда $$- \left(x + \frac{1}{14}\right)^2$$ всегда будет меньше или равно нулю.

Это значит, что неравенство выполняется для всех действительных чисел.

Если посмотреть на варианты ответов, то:

• $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{14}\right) \cup \left(-\frac{1}{14}; +\infty\right)$$ — это все числа, кроме $$-\frac{1}{14}$$.
• $$x \in \left(-\frac{1}{14}; +\infty\right)$$ — это числа больше, чем $$-\frac{1}{14}$$.
• $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{14}\right)$$ — это числа меньше, чем $$-\frac{1}{14}$$.
• $$x \in \left[-\frac{1}{14}; +\infty\right)$$ — это числа больше или равные $$-\frac{1}{14}$$.
• $$x \in \mathbb{R}$$ — это все действительные числа.
• $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{14}\right] \cup \left[0; +\infty\right)$$ — это интервалы.
• $$0$$ — это пустое множество.
• $$x \in \left(-\infty; -\frac{1}{14}\right) \cup \left(0; +\infty\right)$$ — это интервалы.

Поскольку неравенство $$- \left(x + \frac{1}{14}\right)^2 \le 0$$ верно для всех действительных чисел $$x$$, правильный ответ — $$x \in \mathbb{R}$$.

Ответ: $$x \in \mathbb{R}$$