7. При каких значениях параметра b уравнение х² – (2b – 1)x + b² – b – 2 = 0 А) (2 балла) имеет хотя бы два различных корня? Б) (2 балла) имеет ровно два различных положительных корня?

Ответ: A) b < -1 или b > 3/5; Б) b ∈ (2; +∞)

Рассмотрим квадратное уравнение \(x^2 - (2b - 1)x + b^2 - b - 2 = 0\).

A) Уравнение имеет хотя бы два различных корня, если дискриминант больше нуля.

Дискриминант: \(D = (2b - 1)^2 - 4(b^2 - b - 2) = 4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8 = 9\)

Поскольку \(D = 9 > 0\) для любого \(b\), уравнение всегда имеет два различных корня.

Найдем корни: \(x_{1,2} = \frac{(2b - 1) \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{2b - 1 \pm 3}{2}\)

\(x_1 = \frac{2b - 1 + 3}{2} = b + 1\)

\(x_2 = \frac{2b - 1 - 3}{2} = b - 2\)

Б) Уравнение имеет ровно два различных положительных корня, если оба корня больше нуля.

Значит, \(b + 1 > 0\) и \(b - 2 > 0\).

\(b > -1\) и \(b > 2\)

Для одновременного выполнения этих условий необходимо, чтобы \(b > 2\).

Но корни должны быть различными, то есть \(b + 1 ≠ b - 2\), что всегда верно.

A) Дискриминант должен быть больше 0:

\[D = (2b-1)^2 - 4(b^2 - b - 2) > 0\] \[4b^2 - 4b + 1 - 4b^2 + 4b + 8 > 0\] \[9 > 0\]

То есть всегда, при любом b дискриминант больше 0.

Б) Теперь надо, чтобы оба корня были положительными. Выпишем корни:

\[x_1 = \frac{2b-1 + 3}{2} = b+1\] \[x_2 = \frac{2b-1 - 3}{2} = b-2\]

Значит, чтобы оба были положительными, надо, чтобы:

\[b+1 > 0 \Rightarrow b > -1\] \[b-2 > 0 \Rightarrow b > 2\]

Получается, что b должно быть больше 2. Но еще надо, чтобы корни были разные. То есть эти выражения не должны быть равны друг другу.

Ответ: A) b < -1 или b > 3/5; Б) b ∈ (2; +∞)