При каких значениях параметра а уравнение (a-3)x²+(13-3a)x-12 √x-1 = 0 имеет единственный корень?

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе.

Исходное уравнение:

• \[ \frac{(a-3)x^2+(13-3a)x-12}{\sqrt{x-1}} = 0 \]

Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, и выражение под корнем должно быть неотрицательным. Следовательно:

• \[ \sqrt{x-1}
  e 0 \implies x-1
  e 0 \implies x
  e 1 \]
• \[ x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \]

Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ: \[ x > 1 \]

Шаг 2: Решим уравнение.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Так как мы уже учли ОДЗ, нам нужно решить уравнение:

• \[ (a-3)x^2 + (13-3a)x - 12 = 0 \]

Шаг 3: Анализируем квадратное уравнение.

Чтобы у этого квадратного уравнения был ровно один корень, удовлетворяющий условию $$x > 1$$, возможны два случая:

1. Случай 1: Уравнение является линейным.

   Это происходит, когда коэффициент при $$x^2$$ равен нулю, то есть $$a-3 = 0$$, откуда $$a = 3$$.

   Подставим $$a = 3$$ в исходное уравнение:

   • \[ (3-3)x^2 + (13-3 \times 3)x - 12 = 0 \]
   • \[ 0 \times x^2 + (13-9)x - 12 = 0 \]
   • \[ 4x - 12 = 0 \]
   • \[ 4x = 12 \]
   • \[ x = 3 \]

   Проверяем, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ:

   • $$3 > 1$$. Да, удовлетворяет.

   Значит, при $$a = 3$$ уравнение имеет единственный корень $$x=3$$.

2. Случай 2: Уравнение является квадратным, и один из его корней равен 1, а другой удовлетворяет ОДЗ.

   Пусть $$f(x) = (a-3)x^2 + (13-3a)x - 12$$.

   Если один из корней равен 1, то $$f(1) = 0$$. Подставим $$x=1$$:

   • \[ (a-3)(1)^2 + (13-3a)(1) - 12 = 0 \]
   • \[ a - 3 + 13 - 3a - 12 = 0 \]
   • \[ -2a - 2 = 0 \]
   • \[ -2a = 2 \]
   • \[ a = -1 \]

   Теперь подставим $$a = -1$$ в исходное квадратное уравнение:

   • \[ (-1-3)x^2 + (13-3(-1))x - 12 = 0 \]
   • \[ -4x^2 + (13+3)x - 12 = 0 \]
   • \[ -4x^2 + 16x - 12 = 0 \]

   Разделим на -4, чтобы упростить:

   • \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]

   Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета:

   • $$x_1 + x_2 = 4$$
   • $$x_1 \times x_2 = 3$$

   Корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 3$$.

   Мы знаем, что $$x=1$$ не входит в ОДЗ. Корень $$x=3$$ удовлетворяет ОДЗ ($$3 > 1$$).

   Таким образом, при $$a = -1$$ уравнение имеет единственный корень $$x=3$$, который удовлетворяет условию $$x > 1$$.

3. Случай 3: Квадратное уравнение имеет два корня, один из которых удовлетворяет ОДЗ, а другой — нет (или является кратным).

   Это более сложный случай, но мы уже нашли два значения $$a$$, при которых есть единственное решение. Давайте убедимся, что других нет.

   Квадратное уравнение $$Ax^2 + Bx + C = 0$$ имеет единственное решение, удовлетворяющее $$x>1$$, если:

   • Дискриминант $$D=0$$, и единственный корень $$x = -B/(2A) > 1$$.
   • Дискриминант $$D>0$$, и один из корней равен 1, а другой корень $$x_2 > 1$$. (Этот случай мы уже рассмотрели и получили $$a=-1$$).
   • Дискриминант $$D>0$$, и один корень $$x_1 > 1$$, а другой корень $$x_2 e 1$$ и $$x_2
     otin (1, \text{бесконечность})$$.

   Давайте рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю:

   • $$D = (13-3a)^2 - 4(a-3)(-12) = 0$$
   • $$(169 - 78a + 9a^2) + 48(a-3) = 0$$
   • $$169 - 78a + 9a^2 + 48a - 144 = 0$$
   • $$9a^2 - 30a + 25 = 0$$

   Это полный квадрат: $$(3a - 5)^2 = 0$$.

   Отсюда $$3a - 5 = 0$$, значит, $$a = 5/3$$.

   Найдем единственный корень при $$a = 5/3$$:

   • \[ x = -\frac{13-3a}{2(a-3)} = -\frac{13-3(5/3)}{2(5/3-3)} = -\frac{13-5}{2(5/3-9/3)} = -\frac{8}{2(-4/3)} = -\frac{8}{-8/3} = 8 \times \frac{3}{8} = 3 \]

   Проверяем ОДЗ: $$3 > 1$$. Условие выполняется.

   Значит, при $$a = 5/3$$ уравнение также имеет единственный корень $$x=3$$.

Шаг 4: Объединяем все найденные значения параметра $$a$$.

Мы нашли три значения $$a$$, при которых уравнение имеет единственный корень, удовлетворяющий ОДЗ:

• $$a = 3$$
• $$a = -1$$
• $$a = 5/3$$

Ответ: $$a $$ может принимать значения $$-1, 5/3, 3$$.