4. При каких значениях х имеет смысл выражение: a) √(2-x)(3x + 7,5); 1 б) √(x²+18x+81)?

4. Область определения выражения - это множество допустимых значений переменной x, при которых выражение имеет смысл.

a) √(2-x)(3x + 7,5)

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть

$$ (2-x)(3x + 7.5) \geq 0 $$

$$ (2-x) \cdot 3(x + 2.5) \geq 0 $$

$$ (2-x)(x + 2.5) \geq 0 $$

Решим методом интервалов. Найдем корни:

$$ 2 - x = 0 => x = 2 $$

$$ x + 2.5 = 0 => x = -2.5 $$

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

     +                   -                    +
-------------------(-2.5)----------------(2)-------------------

Выбираем интервал, где выражение больше или равно нулю: $$ [-2.5; 2] $$.

б) $$ \frac{1}{\sqrt{x^2 + 18x + 81}} $$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение строго больше нуля, то есть

$$ x^2 + 18x + 81 > 0 $$

$$ (x+9)^2 > 0 $$

Квадрат всегда неотрицателен. Равенство нулю достигается при $$ x = -9 $$. Следовательно, выражение имеет смысл при всех $$ x $$, кроме $$ x = -9 $$.

Ответ: a) $$ x \in [-2.5; 2] $$, б) $$ x \in (-\infty; -9) \cup (-9; +\infty) $$