При каких условиях существует логарифм? log_{2-x} 5

Решение:

Для существования логарифма \( \log_a b \) необходимо выполнение трёх условий:

1. Основание логарифма \( a \) должно быть больше нуля: \( a > 0 \).
2. Основание логарифма \( a \) не должно быть равно единице: \( a \neq 1 \).
3. Аргумент логарифма \( b \) должен быть больше нуля: \( b > 0 \).

В данном случае основанием логарифма является \( 2 - x \), а аргументом — \( 5 \).

Применим условия для нашего логарифма \( \log_{2-x} 5 \):

1. Основание больше нуля: \( 2 - x > 0 \)
2. Основание не равно единице: \( 2 - x \neq 1 \)
3. Аргумент больше нуля: \( 5 > 0 \) (это условие всегда выполняется)

Рассмотрим первое условие: \( 2 - x > 0 \). Вычтем 2 из обеих частей неравенства: \( -x > -2 \). Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: \( x < 2 \).

Рассмотрим второе условие: \( 2 - x \neq 1 \). Вычтем 2 из обеих частей: \( -x \neq -1 \). Умножим обе части на -1: \( x \neq 1 \).

Таким образом, логарифм существует при условиях \( x < 2 \) и \( x \neq 1 \).

Сопоставим полученные условия с предложенными вариантами:

• \( 2 - x \le 0 \) — неверно (должно быть \( 2 - x > 0 \)).
• \( 2 - x \neq 1 \) — верно.
• \( 2 - x > 0 \) — верно.
• \( 2 - x < -5 \) — неверно.

Правильные условия — это \( 2 - x > 0 \) и \( 2 - x \neq 1 \).