При исследовании функции $$y = \frac{x^2+1}{x}$$ было установлено, что производная $$y' = \frac{x^2-1}{x^2}$$. В точках $$x_2 = 1$$ и $$x_1 = -1$$ производная равна нулю. Однако при построении графика выяснилось, что точка $$x_1 = -1$$ является точкой максимума, а $$x_2 = 1$$ — точкой минимума. Что необходимо проверить дополнительно, чтобы убедиться в этом выводе, не строя график полностью?

Question

Вопрос:

При исследовании функции $$y = \frac{x^2+1}{x}$$ было установлено, что производная $$y' = \frac{x^2-1}{x^2}$$. В точках $$x_2 = 1$$ и $$x_1 = -1$$ производная равна нулю. Однако при построении графика выяснилось, что точка $$x_1 = -1$$ является точкой максимума, а $$x_2 = 1$$ — точкой минимума. Что необходимо проверить дополнительно, чтобы убедиться в этом выводе, не строя график полностью?

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Для определения типа экстремума (максимум или минимум) в точках, где первая производная равна нулю, можно использовать признак второй производной.

Если вторая производная в точке равна нулю, то этот признак не даёт ответа, и нужно применять признак первой производной.

В данном случае, для проверки правильности вывода о точках максимума и минимума, нужно найти и исследовать знак второй производной функции в точках $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 1$$.

Вычислим вторую производную: $ y'' $.
Подставим значения $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = 1$$ во вторую производную.
Если $ y''(-1) < 0 $, то в точке $$x_1 = -1$$ — максимум.
Если $ y''(1) > 0 $, то в точке $$x_2 = 1$$ — минимум.

Признак первой производной также будет верным, но требует анализа знака первой производной на интервалах, что указано в варианте b.

Наличие вертикальной асимптоты в точке x=0 (вариант c) и четность функции (вариант d) не являются прямым методом для определения типа экстремума в заданных точках.

Правильный ответ: а.