Преобразуйте выражения в многочлен: a) a² + (3a - b)²; б) 9b² - (a - 3b)²; в) (5a + 7b)² - 70ab; г) (8a - b)² - 64a²; д) (5 + y)² + y(y - 7); e) a(4 - a) + (4 - a)²; ж) (x - 8)² - 2x(6 - x)²

Решение:

Для преобразования выражений в многочлен воспользуемся формулами сокращённого умножения: \( (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 \) и \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \).

1. \( a^2 + (3a - b)^2 = a^2 + ( (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 ) = a^2 + 9a^2 - 6ab + b^2 = 10a^2 - 6ab + b^2 \)
2. \( 9b^2 - (a - 3b)^2 = 9b^2 - ( a^2 - 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 ) = 9b^2 - (a^2 - 6ab + 9b^2) = 9b^2 - a^2 + 6ab - 9b^2 = -a^2 + 6ab \)
3. \( (5a + 7b)^2 - 70ab = ( (5a)^2 + 2 \cdot 5a \cdot 7b + (7b)^2 ) - 70ab = 25a^2 + 70ab + 49b^2 - 70ab = 25a^2 + 49b^2 \)
4. \( (8a - b)^2 - 64a^2 = ( (8a)^2 - 2 \cdot 8a \cdot b + b^2 ) - 64a^2 = 64a^2 - 16ab + b^2 - 64a^2 = -16ab + b^2 \)
5. \( (5 + y)^2 + y(y - 7) = (5^2 + 2 \cdot 5 \cdot y + y^2) + y^2 - 7y = 25 + 10y + y^2 + y^2 - 7y = 2y^2 + 3y + 25 \)
6. \( a(4 - a) + (4 - a)^2 = 4a - a^2 + (4^2 - 2 \cdot 4 \cdot a + a^2) = 4a - a^2 + 16 - 8a + a^2 = -4a + 16 \)
7. \( (x - 8)^2 - 2x(6 - x)^2 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) - 2x(36 - 12x + x^2) = x^2 - 16x + 64 - 72x + 24x^2 - 2x^3 = -2x^3 + 25x^2 - 88x + 64 \)

Ответ:

а) \( 10a^2 - 6ab + b^2 \)

б) \( -a^2 + 6ab \)

в) \( 25a^2 + 49b^2 \)

г) \( -16ab + b^2 \)

д) \( 2y^2 + 3y + 25 \)

е) \( -4a + 16 \)

ж) \( -2x^3 + 25x^2 - 88x + 64 \)