Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида: a) -2a² + (0,5a - 2)(4a + 2); б) ⅓b² - 2(⅓b + ½)(½b - ⅓).

Решение:

а) Преобразуем выражение:

1. Раскроем скобки в произведении \( (0,5a - 2)(4a + 2) \):
• \( 0,5a \cdot 4a = 2a^2 \)
• \( 0,5a \cdot 2 = a \)
• \( -2 \cdot 4a = -8a \)
• \( -2 \cdot 2 = -4 \)
2. Сложим результаты: \( 2a^2 + a - 8a - 4 = 2a^2 - 7a - 4 \).
3. Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \( -2a^2 + (2a^2 - 7a - 4) \).
4. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: \( -2a^2 + 2a^2 - 7a - 4 = -7a - 4 \).

б) Преобразуем выражение:

1. Раскроем скобки в произведении \( (\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})(\frac{1}{2}b - \frac{1}{3}) \):
• \( \frac{1}{3}b \cdot \frac{1}{2}b = \frac{1}{6}b^2 \)
• \( \frac{1}{3}b \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{9}b \)
• \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}b = \frac{1}{4}b \)
• \( \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{6} \)
2. Сложим результаты: \( \frac{1}{6}b^2 - \frac{1}{9}b + \frac{1}{4}b - \frac{1}{6} \).
3. Приведём подобные слагаемые (члены с \( b \)): \( -\frac{1}{9}b + \frac{1}{4}b = -\frac{4}{36}b + \frac{9}{36}b = \frac{5}{36}b \).
4. Таким образом, произведение равно: \( \frac{1}{6}b^2 + \frac{5}{36}b - \frac{1}{6} \).
5. Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \( \frac{1}{3}b^2 - 2(\frac{1}{6}b^2 + \frac{5}{36}b - \frac{1}{6}) \).
6. Раскроем скобки, умножив каждый член на \( -2 \): \( \frac{1}{3}b^2 - 2 \cdot \frac{1}{6}b^2 - 2 \cdot \frac{5}{36}b - 2 \cdot (-\frac{1}{6}) \).
7. \( \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{3}b^2 - \frac{10}{36}b + \frac{2}{6} \).
8. \( \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{3}b^2 - \frac{5}{18}b + \frac{1}{3} \).
9. Приведём подобные слагаемые (члены с \( b^2 \)): \( \frac{1}{3}b^2 - \frac{1}{3}b^2 = 0 \).
10. Остаётся: \( -\frac{5}{18}b + \frac{1}{3} \).

Ответ: а) -7a - 4; б) -⅕b + ⅓.