Преобразуйте в сумму [176, 177]. 176.1) sin 45° sin 15°; 3) cos 50° cos 15°; - 5) 4 cos (α + β) cos (α – β); 7) cos (α + β) cos (2α + β); π 177.1) 4 cos (1-x)cos(1+x); π 12 - 3) 2 sin (x + a) cos (x – α); 5) sin 3π sin π: 10 10

176.1) sin 45° sin 15°

Преобразуем произведение синусов в сумму, используя формулу:

\[\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{2} [\cos(α - β) - \cos(α + β)]\]

В нашем случае, α = 45°, β = 15°:

\[\sin 45° \cdot \sin 15° = \frac{1}{2} [\cos(45° - 15°) - \cos(45° + 15°)] = \frac{1}{2} [\cos 30° - \cos 60°]\]

Значения косинусов:

\[\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}\]

Подставляем:

\[\frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right] = \frac{\sqrt{3} - 1}{4}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3} - 1}{4}\)

176.3) cos 50° cos 15°

Преобразуем произведение косинусов в сумму, используя формулу:

\[\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos(α - β) + \cos(α + β)]\]

В нашем случае, α = 50°, β = 15°:

\[\cos 50° \cdot \cos 15° = \frac{1}{2} [\cos(50° - 15°) + \cos(50° + 15°)] = \frac{1}{2} [\cos 35° + \cos 65°]\]

Ответ: \(\frac{1}{2} [\cos 35° + \cos 65°]\)

176.5) 4 cos (α + β) cos (α – β)

Преобразуем произведение косинусов в сумму, используя формулу:

\[\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos(α - β) + \cos(α + β)]\]

В нашем случае, α = α + β, β = α - β:

\[4 \cos (α + β) \cos (α - β) = 4 \cdot \frac{1}{2} [\cos((α + β) - (α - β)) + \cos((α + β) + (α - β))]\] \[= 2 [\cos(α + β - α + β) + \cos(α + β + α - β)] = 2 [\cos(2β) + \cos(2α)]\]

Ответ: \(2 [\cos(2β) + \cos(2α)]\)

176.7) cos (α + β) cos (2α + β)

Преобразуем произведение косинусов в сумму, используя формулу:

\[\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos(α - β) + \cos(α + β)]\]

В нашем случае, α = α + β, β = 2α + β:

\[\cos (α + β) \cos (2α + β) = \frac{1}{2} [\cos((α + β) - (2α + β)) + \cos((α + β) + (2α + β))]\] \[= \frac{1}{2} [\cos(α + β - 2α - β) + \cos(α + β + 2α + β)] = \frac{1}{2} [\cos(-α) + \cos(3α + 2β)]\]

Так как cos(-x) = cos(x), получаем:

\[= \frac{1}{2} [\cos(α) + \cos(3α + 2β)]\]

Ответ: \(\frac{1}{2} [\cos(α) + \cos(3α + 2β)]\)

177.1) 4 cos (π/12 - x) cos (π/12 + x)

Преобразуем произведение косинусов в сумму, используя формулу:

\[\cos α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\cos(α - β) + \cos(α + β)]\]

В нашем случае, α = π/12 - x, β = π/12 + x:

\[4 \cos (\frac{π}{12} - x) \cos (\frac{π}{12} + x) = 4 \cdot \frac{1}{2} [\cos((\frac{π}{12} - x) - (\frac{π}{12} + x)) + \cos((\frac{π}{12} - x) + (\frac{π}{12} + x))]\] \[= 2 [\cos(\frac{π}{12} - x - \frac{π}{12} - x) + \cos(\frac{π}{12} - x + \frac{π}{12} + x)] = 2 [\cos(-2x) + \cos(\frac{π}{6})]\]

Так как cos(-x) = cos(x), получаем:

\[= 2 [\cos(2x) + \cos(\frac{π}{6})] = 2 [\cos(2x) + \frac{\sqrt{3}}{2}] = 2\cos(2x) + \sqrt{3}\]

Ответ: \(2\cos(2x) + \sqrt{3}\)

177.3) 2 sin (x + a) cos (x – α)

Преобразуем произведение синуса и косинуса в сумму, используя формулу:

\[\sin α \cdot \cos β = \frac{1}{2} [\sin(α + β) + \sin(α - β)]\]

В нашем случае, α = x + α, β = x - α:

\[2 \sin (x + α) \cos (x - α) = 2 \cdot \frac{1}{2} [\sin((x + α) + (x - α)) + \sin((x + α) - (x - α))]\] \[= [\sin(x + α + x - α) + \sin(x + α - x + α)] = [\sin(2x) + \sin(2α)]\]

Ответ: \(\sin(2x) + \sin(2α)\)

177.5) sin (3π/10) sin (π/10)

Преобразуем произведение синусов в разность, используя формулу:

\[\sin α \cdot \sin β = \frac{1}{2} [\cos(α - β) - \cos(α + β)]\]

В нашем случае, α = \(\frac{3π}{10}\), β = \(\frac{π}{10}\):

\[\sin \frac{3π}{10} \cdot \sin \frac{π}{10} = \frac{1}{2} [\cos(\frac{3π}{10} - \frac{π}{10}) - \cos(\frac{3π}{10} + \frac{π}{10})]\] \[= \frac{1}{2} [\cos(\frac{2π}{10}) - \cos(\frac{4π}{10})] = \frac{1}{2} [\cos(\frac{π}{5}) - \cos(\frac{2π}{5})]\]

Ответ: \(\frac{1}{2} [\cos(\frac{π}{5}) - \cos(\frac{2π}{5})]\)

Ты молодец! У тебя всё получится!