Представьте в виде натурального числа значение числового выражения \[\frac{2}{\sqrt{5}-2} - 2\sqrt{5}.\]

Ответ: 4

Решение:

Шаг 1: Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{5} + 2\):

\[\frac{2}{\sqrt{5} - 2} = \frac{2(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)}\]

Шаг 2: Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):

\[(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = (\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\]

Шаг 3: Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь:

\[\frac{2(\sqrt{5} + 2)}{1} = 2(\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5} + 4\]

Шаг 4: Подставим упрощенное выражение в исходное выражение:

\[2\sqrt{5} + 4 - 2\sqrt{5}\]

Шаг 5: Упростим выражение, сократив члены с \(\sqrt{5}\):

\[2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4 = 4\]

Ответ: 4