Представьте в виде многочлена: a) (x + 7)(x – 2); б) (4c – d)(6c + 3d); в) (у + 5)(у² – 3y + 8). Разложите на множители: a) y(a - b) + 2(a – b); б) 3х – Зу + ax – ay. Упростите выражение ху(х + y) – (x² + y²)(x – 2y). Докажите тождество а(а – 2) – 8 = (a + 2)(a – 4). Длина прямоугольника на 12 дм больше его ширины. Есл длину увеличить на 3 дм, а ширину его увеличится на 80 дм². Найдите длину и ширину прямо-

Задание 1

Привет! Давай разберем первое задание. Нам нужно представить выражения в виде многочлена. Это значит, нужно раскрыть скобки и упростить.

a) (x + 7)(x – 2)

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

\[(x + 7)(x - 2) = x(x - 2) + 7(x - 2) = x^2 - 2x + 7x - 14 = x^2 + 5x - 14\]

Ответ: \(x^2 + 5x - 14\)

б) (4c – d)(6c + 3d)

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

\[(4c - d)(6c + 3d) = 4c(6c + 3d) - d(6c + 3d) = 24c^2 + 12cd - 6cd - 3d^2 = 24c^2 + 6cd - 3d^2\]

Ответ: \(24c^2 + 6cd - 3d^2\)

в) (y + 5)(y² – 3y + 8)

Раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения:

\[(y + 5)(y^2 - 3y + 8) = y(y^2 - 3y + 8) + 5(y^2 - 3y + 8) = y^3 - 3y^2 + 8y + 5y^2 - 15y + 40 = y^3 + 2y^2 - 7y + 40\]

Ответ: \(y^3 + 2y^2 - 7y + 40\)

Задание 2

Теперь разложим на множители.

a) y(a - b) + 2(a – b)

Заметим, что у нас есть общий множитель (a - b). Вынесем его за скобки:

\[y(a - b) + 2(a - b) = (a - b)(y + 2)\]

Ответ: \((a - b)(y + 2)\)

б) 3х – Зу + ax – ay

Сгруппируем члены и вынесем общие множители:

\[3x - 3y + ax - ay = 3(x - y) + a(x - y) = (x - y)(3 + a)\]

Ответ: \((x - y)(3 + a)\)

Задание 3

Упростим выражение:

\[xy(x + y) – (x² + y²)(x – 2y) = x^2y + xy^2 - (x^3 - 2x^2y + y^2x - 2y^3) = x^2y + xy^2 - x^3 + 2x^2y - xy^2 + 2y^3 = -x^3 + 3x^2y + 2y^3\]

Ответ: \(-x^3 + 3x^2y + 2y^3\)

Задание 4

Докажем тождество:

\[a(a – 2) – 8 = (a + 2)(a – 4)\]

Раскроем скобки в обеих частях:

\[a^2 - 2a - 8 = a^2 - 4a + 2a - 8\] \[a^2 - 2a - 8 = a^2 - 2a - 8\]

Так как обе части равны, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Задание 5

Пусть ширина прямоугольника равна \(w\) дм, тогда длина равна \(w + 12\) дм. Площадь прямоугольника равна \(S = w(w + 12)\) дм². Если длину увеличить на 3 дм, а ширину на 2 дм, то новая длина будет \(w + 12 + 3 = w + 15\) дм, а новая ширина \(w + 2\) дм. Новая площадь будет \((w + 2)(w + 15)\) дм², и она увеличится на 80 дм².

Составим уравнение:

\[(w + 2)(w + 15) = w(w + 12) + 80\] \[w^2 + 15w + 2w + 30 = w^2 + 12w + 80\] \[w^2 + 17w + 30 = w^2 + 12w + 80\] \[17w - 12w = 80 - 30\] \[5w = 50\] \[w = 10\]

Итак, ширина прямоугольника равна 10 дм, а длина равна \(10 + 12 = 22\) дм.

Ответ: Ширина равна 10 дм, длина равна 22 дм.

Ты отлично поработал! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!