Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Представьте в виде многочлена выражение: 1) (m-5)²; 2) (2a + 7b)²; 3) (a+3)(a-3); 4) (8x+5y) (5y - 8x). 2. Разложите на множители: 1) x²-81; 2) y²-6y +9; 3) 16x²-49; 4) 9a²+30ab + 25b². 3. Упростите выражение (п-6)² - (n-2)(n+2). 4. Решите уравнение: (7x+1)(x-3) +20(x-1)(x+1) = 3(3x-2)² + 13. 5. Представьте в виде произведения выражение: (2a+1)²-(a-9)². 6. Упростите выражение (b5)(b+5) (b²+25) – (b² – 9)² и найдите его значение при b = -1/3 7. Докажите, что выражение х²- 12х + 38 принимает положительные значения при всех значениях х.
Ответ:
Привет! Давай разберем эти математические задачки. Уверена, вместе у нас всё получится!
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) \[(m-5)^2\]
Используем формулу квадрата разности: \[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]
Тогда:
\[(m-5)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 5 + 5^2 = m^2 - 10m + 25\]
2) \[(2a+7b)^2\]
Используем формулу квадрата суммы: \[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]
Тогда:
\[(2a+7b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 7b + (7b)^2 = 4a^2 + 28ab + 49b^2\]
3) \[(a+3)(a-3)\]
Используем формулу разности квадратов: \[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]
Тогда:
\[(a+3)(a-3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9\]
4) \[(8x+5y)(5y-8x)\]
Преобразуем выражение:
\[(8x+5y)(5y-8x) = (5y+8x)(5y-8x)\]
Используем формулу разности квадратов: \[(a+b)(a-b) = a^2 - b^2\]
Тогда:
\[(5y+8x)(5y-8x) = (5y)^2 - (8x)^2 = 25y^2 - 64x^2\]
2. Разложите на множители:
1) \[x^2 - 81\]
Используем формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Тогда:
\[x^2 - 81 = (x-9)(x+9)\]
2) \[y^2 - 6y + 9\]
Используем формулу квадрата разности: \[a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\]
Тогда:
\[y^2 - 6y + 9 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y-3)^2\]
3) \[16x^2 - 49\]
Используем формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Тогда:
\[16x^2 - 49 = (4x)^2 - 7^2 = (4x-7)(4x+7)\]
4) \[9a^2 + 30ab + 25b^2\]
Используем формулу квадрата суммы: \[a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\]
Тогда:
\[9a^2 + 30ab + 25b^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 5b + (5b)^2 = (3a+5b)^2\]
3. Упростите выражение \[(n-6)^2 - (n-2)(n+2)\]
Раскроем скобки и упростим:
\[(n-6)^2 - (n-2)(n+2) = (n^2 - 12n + 36) - (n^2 - 4) = n^2 - 12n + 36 - n^2 + 4 = -12n + 40\]
4. Решите уравнение: \[(7x+1)(x-3) + 20(x-1)(x+1) = 3(3x-2)^2 + 13\]
Раскроем скобки:
\[(7x^2 - 21x + x - 3) + 20(x^2 - 1) = 3(9x^2 - 12x + 4) + 13\]
\[7x^2 - 20x - 3 + 20x^2 - 20 = 27x^2 - 36x + 12 + 13\]
\[27x^2 - 20x - 23 = 27x^2 - 36x + 25\]
Перенесем все в одну сторону:
\[27x^2 - 20x - 23 - 27x^2 + 36x - 25 = 0\]
\[16x - 48 = 0\]
\[16x = 48\]
\[x = \frac{48}{16} = 3\]
5. Представьте в виде произведения выражение: \[(2a+1)^2 - (a-9)^2\]
Используем формулу разности квадратов: \[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\]
Тогда:
\[(2a+1)^2 - (a-9)^2 = ((2a+1) - (a-9))((2a+1) + (a-9)) = (2a+1-a+9)(2a+1+a-9) = (a+10)(3a-8)\]
6. Упростите выражение \[(b-5)(b+5)(b^2+25) - (b^2-9)^2\] и найдите его значение при \[b = -\frac{1}{3}\]
Упростим выражение:
\[(b-5)(b+5)(b^2+25) - (b^2-9)^2 = (b^2 - 25)(b^2+25) - (b^4 - 18b^2 + 81) = b^4 - 625 - b^4 + 18b^2 - 81 = 18b^2 - 706\]
Подставим \[b = -\frac{1}{3}\]:
\[18(-\frac{1}{3})^2 - 706 = 18 \cdot \frac{1}{9} - 706 = 2 - 706 = -704\]
7. Докажите, что выражение \[x^2 - 12x + 38\] принимает положительные значения при всех значениях x.
Выделим полный квадрат:
\[x^2 - 12x + 38 = x^2 - 12x + 36 + 2 = (x-6)^2 + 2\]
Так как \[(x-6)^2 \ge 0\] для любого x, то \[(x-6)^2 + 2 \ge 2 > 0\]
Следовательно, выражение всегда положительное.
Ответ: \[m^2 - 10m + 25\], \[4a^2 + 28ab + 49b^2\], \[a^2 - 9\], \[25y^2 - 64x^2\], \[(x-9)(x+9)\], \[(y-3)^2\], \[(4x-7)(4x+7)\], \[(3a+5b)^2\], \[-12n + 40\], \[x = 3\], \[(a+10)(3a-8)\], \[-704\], доказано
