2. Представьте в виде дроби выражение: 1) (\frac{2a}{5b})^4 ; 2) (\frac{-5m^4}{6n^6})^3 . 3. Упростите выражение: (\frac{x^5}{4y^6})^4 : (\frac{-x^6}{8y^5})^3 . 4. Упростите выражение: 1) \frac{x^3-64}{x^2 + 14x +49} \cdot \frac{x^2 - 49}{x^2 + 4x + 16} - \frac{77-11x}{x+7}; 2) (\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}) \cdot \frac{2a}{a^2}. 5. Докажите тождес (\frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b}{b-4}) \cdot (\frac{b^2}{b^2-16} - \frac{b}{b-4}) = \frac{b^2 + 4b}{4-b}. 6. Известно, что 9х2 + \frac{25}{x^2} = 226. Найдите значения 3х - \frac{5}{x}.

2. Представьте в виде дроби выражение:

1)

\[(\frac{2a}{5b})^4 = \frac{(2a)^4}{(5b)^4} = \frac{2^4 a^4}{5^4 b^4} = \frac{16a^4}{625b^4}\]

Ответ: \(\frac{16a^4}{625b^4}\)

2)

\[(\frac{-5m^4}{6n^6})^3 = \frac{(-5m^4)^3}{(6n^6)^3} = \frac{(-5)^3 (m^4)^3}{6^3 (n^6)^3} = \frac{-125m^{12}}{216n^{18}}\]

Ответ: \(-\frac{125m^{12}}{216n^{18}}\)

3. Упростите выражение:

\[(\frac{x^5}{4y^6})^4 : (\frac{-x^6}{8y^5})^3 = \frac{(x^5)^4}{(4y^6)^4} : \frac{(-x^6)^3}{(8y^5)^3} = \frac{x^{20}}{4^4 y^{24}} : \frac{-x^{18}}{8^3 y^{15}} = \frac{x^{20}}{256 y^{24}} \cdot \frac{-512 y^{15}}{x^{18}} = \frac{-512 x^{20} y^{15}}{256 x^{18} y^{24}} = -2 \frac{x^2}{y^9}\]

Ответ: \(-2 \frac{x^2}{y^9}\)

4. Упростите выражение:

1)

\[\frac{x^3-64}{x^2 + 14x +49} \cdot \frac{x^2 - 49}{x^2 + 4x + 16} - \frac{77-11x}{x+7} = \frac{(x-4)(x^2+4x+16)}{(x+7)^2} \cdot \frac{(x-7)(x+7)}{x^2 + 4x + 16} - \frac{11(7-x)}{x+7} = \frac{(x-4)(x-7)}{x+7} + \frac{11(x-7)}{x+7} = \frac{(x-4)(x-7) + 11(x-7)}{x+7} = \frac{(x-7)(x-4+11)}{x+7} = \frac{(x-7)(x+7)}{x+7} = x-7\]

Ответ: \(x-7\)

2)

\[(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}) \cdot \frac{2a}{a^2} = (\frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{(a+1)(a-1)}) \cdot \frac{2}{a} = \frac{a^2 - 2a + 1 - (a^2 + 2a + 1)}{a^2-1} \cdot \frac{2}{a} = \frac{-4a}{a^2-1} \cdot \frac{2}{a} = \frac{-8}{a^2-1}\]

Ответ: \(-\frac{8}{a^2-1}\)

5. Докажите тождество

\[(\frac{b^3}{b^2 - 8b + 16} - \frac{b}{b-4}) \cdot (\frac{b^2}{b^2-16} - \frac{b}{b-4}) = (\frac{b^3}{(b-4)^2} - \frac{b}{b-4}) \cdot (\frac{b^2}{(b-4)(b+4)} - \frac{b}{b-4}) = (\frac{b^3 - b(b-4)}{(b-4)^2}) \cdot (\frac{b^2 - b(b+4)}{(b-4)(b+4)}) = (\frac{b^3 - b^2 + 4b}{(b-4)^2}) \cdot (\frac{b^2 - b^2 - 4b}{(b-4)(b+4)}) = \frac{b(b^2 - b + 4)}{(b-4)^2} \cdot \frac{-4b}{(b-4)(b+4)} = \frac{-4b^2(b^2 - b + 4)}{(b-4)^3(b+4)} \] \[\frac{b^2 + 4b}{4-b} = \frac{b(b+4)}{-(b-4)} = \frac{-b(b+4)}{b-4}\]

Тождество неверно

6. Известно, что \(9x^2 + \frac{25}{x^2} = 226\). Найдите значения \(3x - \frac{5}{x}\).

\[(3x - \frac{5}{x})^2 = (3x)^2 - 2(3x)(\frac{5}{x}) + (\frac{5}{x})^2 = 9x^2 - 30 + \frac{25}{x^2}\] \[9x^2 + \frac{25}{x^2} = 226\] \[9x^2 - 30 + \frac{25}{x^2} = 226 - 30 = 196\] \[(3x - \frac{5}{x})^2 = 196\] \[3x - \frac{5}{x} = \pm \sqrt{196} = \pm 14\]

Ответ: \(\pm 14\)