Предел последовательности, общий член которой имеет вид $$a_n = \frac{n^3+2n-1}{2n+1}$$, равен...

Решение:

Чтобы найти предел последовательности, где общий член задан формулой $$a_n = \frac{n^3+2n-1}{2n+1}$$, необходимо проанализировать поведение функции при $$n \to \infty$$.

Разделим числитель и знаменатель на старшую степень $$n$$ в знаменателе, то есть на $$n^1$$ (или на $$n$$):

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3+2n-1}{2n+1} \]

Разделим числитель и знаменатель на $$n$$:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^3}{n}+\frac{2n}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}} \]

Теперь рассмотрим предел:

• Числитель: $$n^2 \to \infty$$, $$2 \to 2$$, $$\frac{1}{n} \to 0$$. Таким образом, числитель стремится к $$\infty$$.


• Знаменатель: $$2 \to 2$$, $$\frac{1}{n} \to 0$$. Таким образом, знаменатель стремится к $$2$$.

Следовательно, предел равен:

\[ \frac{\infty}{2} = \infty \]

Ответ: $$\infty$$