Предел lim_{x→0} (e^(2x) - 1) / ln(1 + x) равен:

Решение:

Дан предел вида \( \frac{0}{0} \), применим правило Лопиталя.

Возьмём производную от числителя и знаменателя:

Производная числителя \( (e^{2x} - 1)' = e^{2x} \cdot 2 \)

Производная знаменателя \( (\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x} \)

Теперь найдём предел от отношения производных:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{\frac{1}{1+x}} = \lim_{x \to 0} 2e^{2x}(1+x) \]

Подставим \( x = 0 \):

\[ 2e^{2 \cdot 0}(1+0) = 2e^0(1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \]

Ответ: 2