Правильный треугольник вписан в окружность радиусом 12√3. Найдите: а) сторону этого треугольника (10 баллов); б) площадь круга, вписанного в этот треугольник (14 баллов).

Решение:

Дано:

Правильный треугольник вписан в окружность.

Радиус описанной окружности \( R = 12\sqrt{3} \).

Найти:

а) сторону треугольника \( a \);

б) площадь вписанного круга \( S_{in} \).

а) Сторона правильного треугольника:

Формула для связи стороны правильного треугольника и радиуса описанной окружности:

\[ a = R \sqrt{3} \]

Подставим значение радиуса:

\[ a = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot 3 = 36 \]

б) Площадь вписанного круга:

Радиус вписанной окружности \( r \) для правильного треугольника связан с радиусом описанной окружности \( R \) соотношением:

\[ r = \frac{R}{2} \]

Подставим значение радиуса описанной окружности:

\[ r = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \]

Площадь круга вычисляется по формуле:

\[ S = \pi r^2 \]

Подставим значение радиуса вписанной окружности:

\[ S_{in} = \pi (6\sqrt{3})^2 = \pi \cdot (36 \cdot 3) = 108\pi \]

Ответ:

а) Сторона треугольника равна 36.

б) Площадь вписанного круга равна 108π.