Правильный кубик бросают 7 раз. Найдите Р(ровно 2 шестёрок).

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Формула биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:

• \( n \) — количество испытаний (бросков кубика), \( n = 7 \)
• \( k \) — количество успешных исходов (выпадение шестёрки), \( k = 2 \)
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (вероятность выпадения шестёрки), \( p = \frac{1}{6} \)
• \( 1-p \) — вероятность неудачи (вероятность не выпадения шестёрки), \( 1-p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \)
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Рассчитаем число сочетаний:

\[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]

Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X=2) = 21 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{7-2} \]

\[ P(X=2) = 21 \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^5 \]

\[ P(X=2) = \frac{21}{36} \cdot \frac{5^5}{6^5} \]

\[ P(X=2) = \frac{7}{12} \cdot \frac{3125}{7776} \]

\[ P(X=2) = \frac{21875}{93312} \]

Приблизительное значение:

\[ P(X=2) \approx 0.2344 \]

Ответ: \( \frac{21875}{93312} \) (или приблизительно 0.2344).