Правила сложения и вычитания векторов. 6/10. Условие задания: Найди угол между векторами а {1; 9} и b {-10; -8}.

Решение:

Для нахождения угла между двумя векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) используем формулу:

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \]

1. Найдём скалярное произведение векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (1 × (-10)) + (9 × (-8)) = -10 - 72 = -82 \]

2. Найдём длину вектора \( \vec{a} \):

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 9^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82} \]

3. Найдём длину вектора \( \vec{b} \):

\[ |\vec{b}| = \sqrt{(-10)^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = \sqrt{4 × 41} = 2\sqrt{41} \]

4. Подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos \alpha = \frac{-82}{\sqrt{82} × 2\sqrt{41}} = \frac{-82}{\sqrt{2 × 41} × 2\sqrt{41}} = \frac{-82}{2\sqrt{2} × 41} = \frac{-82}{82\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

5. Найдём угол \( \alpha \):

Угол, косинус которого равен \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \), равен \( 135^° \).

Ответ: 135°.