Практическое занятие №25. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Задание №1. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ=6 см.

Решение:

1. Пусть \( O \) — центр правильного треугольника \( ABC \). Расстояние от центра правильного треугольника до каждой из его вершин равно радиусу описанной окружности \( R \).
2. В правильном треугольнике \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где \( a \) — сторона треугольника.
3. В данном случае \( a = AB = 6 \) см.
4. Рассчитаем радиус описанной окружности: \( R = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \) см.
5. По условию, расстояние от точки \( M \) до каждой из вершин равно 4 см, то есть \( MA = MB = MC = 4 \) см.
6. Точка \( M \) равноудалена от вершин треугольника \( ABC \). Следовательно, её проекция на плоскость \( ABC \) совпадает с центром описанной окружности, то есть с точкой \( O \).
7. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( MOA \), где \( MO \) — искомое расстояние от точки \( M \) до плоскости \( ABC \), \( OA = R = 2\sqrt{3} \) см, а \( MA = 4 \) см — гипотенуза.
8. По теореме Пифагора: \( MO^2 + OA^2 = MA^2 \)
9. \( MO^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4^2 \)
10. \( MO^2 + 12 = 16 \)
11. \( MO^2 = 16 - 12 = 4 \)
12. \( MO = \sqrt{4} = 2 \) см.

Ответ: 2 см.