Практическое задание к разделу 6. Решите задачи, оформите решения: укажите дано, перевод единиц измерения в систему СИ (при необходимости), решение с выводом общей формулы, подстановкой, расчетами, ответ. Решения напишите от руки. Задача 1. Электрон, двигаясь в электрическом поле, изменяет свою скорость от 200 км/с до 10000 км/с. Чему равна разность потенциалов между начальной и конечной точками пути?

Решение задачи 1

Дано:

Начальная скорость \( v_0 = 200 \text{ км/с} \)

Конечная скорость \( v = 10000 \text{ км/с} \)

Элементарный заряд \( e \) (для электрона) \( \approx 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл} \)

Перевод в СИ:

\( v_0 = 200 \text{ км/с} = 200 \times 1000 \text{ м/с} = 2 \times 10^5 \text{ м/с} \)

\( v = 10000 \text{ км/с} = 10000 \times 1000 \text{ м/с} = 10^7 \text{ м/с} \)

Найти:

Разность потенциалов \( \Delta \varphi \) (или работа \( A \))

Решение:

Работа электрического поля по перемещению заряда равна изменению его кинетической энергии:

\( A = \Delta E_k \)

Работа также связана с разностью потенциалов:

\( A = q \cdot \Delta \varphi \)

Для электрона заряд \( q = -e \). Работа внешних сил равна изменению кинетической энергии:

\( A = E_{k2} - E_{k1} \)

\( -e \cdot \Delta \varphi = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} \)

\( \Delta \varphi = \frac{m(v_0^2 - v^2)}{2e} \)

Из условия задачи, скорость электрона увеличивается, значит, поле совершает работу против силы поля, или кинетическая энергия растёт, и работа поля положительна. Однако, обычно под разностью потенциалов подразумевают \( \varphi_{начальное} - \varphi_{конечное} \).

Формула связи работы и разности потенциалов: \( A = q( \varphi_1 - \varphi_2 ) \).

Работа, совершаемая полем, равна изменению кинетической энергии: \( A = E_{k2} - E_{k1} \).

\( q( \varphi_1 - \varphi_2 ) = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} \)

Для электрона \( q = -e \), где \( e \) — элементарный заряд.

\( -e( \varphi_1 - \varphi_2 ) = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} \)

\( \Delta \varphi = \varphi_1 - \varphi_2 = \frac{mv^2}{2e} - \frac{mv_0^2}{2e} = \frac{m(v^2 - v_0^2)}{2e} \)

В условии сказано, что скорость увеличивается, значит, кинетическая энергия растёт. Работа поля положительна. Если \( q \) отрицателен (электрон), то \( \varphi_1 - \varphi_2 \) должно быть отрицательным, то есть \( \varphi_1 < \varphi_2 \).

Масса электрона \( m_e \approx 9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \).

\( \Delta \varphi = \frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} ((10^7 \text{ м/с})^2 - (2 \times 10^5 \text{ м/с})^2)}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}}} \)

\( \Delta \varphi = \frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} (10^{14} \text{ м}^2/\text{с}^2 - 4 \times 10^{10} \text{ м}^2/\text{с}^2)}{3.2 \times 10^{-19} \text{ Кл}}} \)

\( \Delta \varphi = \frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \times 10^{14} \text{ м}^2/\text{с}^2 (1 - 0.0004)}{3.2 \times 10^{-19} \text{ Кл}}} \)

\( \Delta \varphi \approx \frac{9.11 \times 10^{-17} \text{ кг} \cdot \text{м}^2/\text{с}^2}{3.2 \times 10^{-19} \text{ Кл}}} \approx 2.85 \times 10^2 \text{ В} = 285 \text{ В} \)

Скорость \( v_0 \) намного меньше \( v \), поэтому \( v_0^2 \) можно пренебречь.

\( \Delta \varphi \approx \frac{m v^2}{2e} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \text{ кг} \times (10^7 \text{ м/с})^2}{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ Кл}}} = \frac{9.11 \times 10^{-31} \times 10^{14}}{3.2 \times 10^{-19}} \text{ В} = \frac{9.11 \times 10^{-17}}{3.2 \times 10^{-19}} \text{ В} \approx 2.85 \times 10^2 \text{ В} = 285 \text{ В} \)

Ответ: Разность потенциалов составляет примерно 285 В.