Практическая работа №7 Тема: диференциальные уравнения с разделенными переменными Контрольные вопросы 1) Определить дисф-он ур-ия с разделенными переменными 2) Определить, что называется частным решением ур-ия 3) Что называется общим решением дин. ур-ия 1-го порядка 4) что называется «чистым» дин. ур-ия 1-го порядка 5) Заусечить Ключисая Задание y'dy = xdx

Практическая работа №7

Тема: Дифференциальные уравнения с разделенными переменными

Контрольные вопросы

1. Дифференциальное уравнение с разделенными переменными — это уравнение вида \( M(x)dx + N(y)dy = 0 \), где \( M(x) \) — функция, зависящая только от \( x \), а \( N(y) \) — функция, зависящая только от \( y \).


2. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция \( y=f(x) \), обращающая это уравнение в тождество.


3. Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка называется семейство всех его частных решений, которое содержит столько произвольных постоянных, сколько единиц в порядке уравнения.


4. «Чистым» дифференциальным уравнением 1-го порядка называется такое уравнение, которое после разделения переменных имеет вид \( M(x)dx = 0 \) или \( N(y)dy = 0 \).


5. Задание: \( y'dy = xdx \)

Решение задания:

Запишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \):

\[ \frac{dy}{dx} dy = xdx \]

Умножим обе части на \( dx \):

\[ dy \cdot dy = xdx \]

Интегрируем обе части уравнения:

\[ \int dy \cdot dy = \int xdx \]

Применяем формулу интеграла степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \):

\[ \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C \]

Умножаем обе части на 2:

\[ y^2 = x^2 + 2C \]

Обозначим \( 2C \) как новую произвольную постоянную \( C_1 \):

\[ y^2 = x^2 + C_1 \]

Ответ: \( y^2 = x^2 + C_1 \).