Практическая работа № 70. Тема: Показательная функция, её свойства и график. Цель: Научиться строить графики показательной функции, исследовать их свойства (возрастание/убывание, область определения, множество значений) и применять эти знания для анализа поведения функций, чтения графиков и решения задач. Задание B-1. 1. Постройте график функции f(x) = 2^x. Укажите координаты точек, которые вы использовали для построения графика. Найдите область определения, множество значений, исследуйте на монотонность. 2. Постройте график функции y = (1/3)^x - 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2;0]. 3. Найдите значение аргумента x, при котором функция y = 6^x принимает значение, равное кубическому корню из 36. Задание B-2. 1. Постройте график функции f(x) = 3^x. Укажите координаты точек, которые вы использовали для построения графика. Найдите область определения, множество значений, исследуйте на монотонность. 2. Постройте график функции y = (1/2)^x + 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;2]. 3. Найдите значение аргумента x, при котором функция y = 7^x принимает значение, равное 7 корней из 7. Критерии оценивания: Оценка «3» - правильно выполнено одно задание; Оценка «4» - правильно выполнены два задания; Оценка «5» - правильно выполнены три задания.

Решение:

Задание B-1

1. Построение графика функции f(x) = 2^x

Для построения графика выберем несколько точек:

• При x = -1, f(-1) = 2^-1 = 1/2. Точка (-1, 1/2).
• При x = 0, f(0) = 2⁰ = 1. Точка (0, 1).
• При x = 1, f(1) = 2¹ = 2. Точка (1, 2).
• При x = 2, f(2) = 2² = 4. Точка (2, 4).

Область определения: Все действительные числа, R.

Множество значений: Все положительные действительные числа, (0; +∞).

Монотонность: Функция возрастает на всей области определения, так как основание степени (2) больше 1.

2. График функции y = (1/3)^x - 1 на отрезке [-2;0]

Это показательная функция с основанием меньше 1, убывающая, сдвинутая на 1 единицу вниз.

Найдем значения функции на концах отрезка:

• При x = -2: y = (1/3)^-2 - 1 = 3² - 1 = 9 - 1 = 8.
• При x = 0: y = (1/3)⁰ - 1 = 1 - 1 = 0.

Наибольшее значение: 8 (при x = -2).

Наименьшее значение: 0 (при x = 0).

3. Значение аргумента x, при котором y = 6^x = ∛36

Перепишем уравнение:

\( 6^x = \sqrt[3]{36} \)

\( 6^x = 36^{1/3} \)

\( 6^x = (6^2)^{1/3} \)

\( 6^x = 6^{2/3} \)

Приравнивая показатели степени, получаем:

\( x = 2/3 \)

Ответ: \( x = 2/3 \).

Задание B-2

1. Построение графика функции f(x) = 3^x

Для построения графика выберем несколько точек:

• При x = -1, f(-1) = 3^-1 = 1/3. Точка (-1, 1/3).
• При x = 0, f(0) = 3⁰ = 1. Точка (0, 1).
• При x = 1, f(1) = 3¹ = 3. Точка (1, 3).
• При x = 2, f(2) = 3² = 9. Точка (2, 9).

Область определения: Все действительные числа, R.

Множество значений: Все положительные действительные числа, (0; +∞).

Монотонность: Функция возрастает на всей области определения, так как основание степени (3) больше 1.

2. График функции y = (1/2)^x + 1 на отрезке [0;2]

Это показательная функция с основанием меньше 1, убывающая, сдвинутая на 1 единицу вверх.

Найдем значения функции на концах отрезка:

• При x = 0: y = (1/2)⁰ + 1 = 1 + 1 = 2.
• При x = 2: y = (1/2)² + 1 = 1/4 + 1 = 5/4.

Наибольшее значение: 2 (при x = 0).

Наименьшее значение: 5/4 (при x = 2).

3. Значение аргумента x, при котором y = 7^x = 7√7

Перепишем уравнение:

\( 7^x = 7 \sqrt{7} \)

\( 7^x = 7^1 \cdot 7^{1/2} \)

\( 7^x = 7^{1 + 1/2} \)

\( 7^x = 7^{3/2} \)

Приравнивая показатели степени, получаем:

\( x = 3/2 \)

Ответ: \( x = 3/2 \).

Критерии оценивания:

Оценка «3» - правильно выполнено одно задание.

Оценка «4» - правильно выполнены два задания.

Оценка «5» - правильно выполнены три задания.