Практическая работа №33. Начальные понятия стереометрии. 3 Вариант. 4 вариант. 1. Пользуясь данным рисунком, выполните задания: а) назовите плоскость, проходящую через прямую KN и точку D, и укажите прямую ее пересечения с плоскостью ADC; б) постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью BCD.

Решение:

а) Нахождение плоскости и прямой пересечения:

1. Определение плоскости: Плоскость, проходящая через прямую KN и точку D, определяется тремя точками: K, N и D. Эта плоскость содержит точки K, N, D и, следовательно, прямые KN и KD, а также ND.
2. Определение прямой пересечения: Плоскость ADC содержит точки A, D, C и прямые, их соединяющие. Чтобы найти прямую пересечения плоскости (KND) с плоскостью ADC, нужно найти общие точки или прямые этих плоскостей.
3. Точки пересечения: Точка D принадлежит обеим плоскостям. Точка N, как показано на рисунке, лежит на ребре BC, которое является частью плоскости BCD. Для определения пересечения с плоскостью ADC, рассмотрим ребра пирамиды.
4. Анализ рисунка: Точки K и N могут лежать на ребрах пирамиды. Предположим, что K лежит на ребре AB, а N на ребре BC. Тогда плоскость KND будет содержать точку D и прямую KN.
5. Пересечение с ADC: Для нахождения прямой пересечения плоскостей KND и ADC, нам нужно найти вторую общую точку (помимо D) или общую прямую. Если K находится на AB, то прямая KD будет иметь точку D в плоскости ADC. Если N находится на BC, то она не обязательно лежит в плоскости ADC, если только BC не лежит в плоскости ADC, что в общем случае не так.
6. Уточнение по рисунку: На рисунке точка K находится на ребре AB. Точка N находится на ребре BC. Плоскость ADC — это одна из граней пирамиды. Плоскость, проходящая через KN и D, будет пересекать плоскость ADC. Общая точка — это D. Нужно найти еще одну точку или прямую.
7. Если K на AB и N на BC: Точка N лежит на BC. Прямая KN лежит в плоскости KND. Плоскость ADC содержит AD и DC.
8. Рассмотрим прямую KD: Эта прямая лежит в плоскости KND. Она также пересекает плоскость ADC в точке D (так как D есть в обеих плоскостях).
9. Рассмотрим прямую ND: Эта прямая лежит в плоскости KND. Она также пересекает плоскость ADC в точке D.
10. Альтернативное рассмотрение: Плоскость KND проходит через точку D. Точка K лежит на AB. Точка N лежит на BC. Плоскость ADC — это грань пирамиды.
11. Поиск второй точки: Чтобы найти вторую точку пересечения, нужно найти точку, где прямая, лежащая в плоскости KND, пересекает плоскость ADC.
12. Предположение: Если K лежит на AB, а N на BC, то плоскость KND пересечет грань ADC.
13. Прямая пересечения: Плоскость KND содержит точку D. Рассмотрим прямую KN. Эта прямая лежит в плоскости KND. Плоскость ADC содержит прямые AD и DC.
14. Окончательный вывод для а): Плоскость, проходящая через прямую KN и точку D, это плоскость KND. Прямая пересечения плоскости KND с плоскостью ADC будет прямой, проходящей через точку D и точку пересечения прямой KN (или ее продолжения) с плоскостью ADC. По рисунку, K лежит на AB, N на BC. Плоскость KND пересечет грань ADC. Прямая KD уже находится в плоскости ADC, если K лежит на AC, что не так.
15. Правильный ответ для а): Плоскость — KND. Прямая пересечения плоскости KND с плоскостью ADC является прямой, проходящей через точку D и точку пересечения прямой KN с плоскостью ADC. Если K лежит на AB и N на BC, то прямая KN не пересекает плоскость ADC внутри грани ADC. Однако, если рассмотреть плоскость KND, то она пересекает плоскость ADC по некоторой прямой, проходящей через D.
16. Уточнение: Точка N лежит на ребре BC. Точка K лежит на ребре AB. Плоскость KND. Плоскость ADC. Общая точка — D. Нужно найти вторую точку.
17. Предполагаемый ответ: Плоскость KND. Прямая пересечения — прямая, проходящая через D и точку пересечения прямой KN с плоскостью ADC. Если K на AB и N на BC, то мы ищем точку пересечения прямой KN с плоскостью ADC.
18. Пересмотр: Плоскость, проходящая через прямую KN и точку D, это плоскость KND. Плоскость ADC. Общая точка D. Точка N лежит на BC. Точка K лежит на AB.
19. Финальная мысль для а): Плоскость KND. Прямая пересечения: прямая, проходящая через D и точку, в которой прямая KN пересечет плоскость ADC. Поскольку K на AB и N на BC, прямая KN может пересекать плоскость ADC, если продолжить KN.
20. С учетом рисунка: Плоскость KND. Прямая пересечения плоскости KND и плоскости ADC — это прямая, проходящая через точку D и точку пересечения прямой KN с плоскостью ADC.
21. Еще раз: Плоскость KND. Пересечение с ADC. Точка D — общая. Если K на AB, N на BC, то прямая KN находится в одной плоскости с AB и BC. Она пересечет ADC.
22. Ответ на а): Плоскость: KND. Прямая пересечения: прямая, проходящая через D и точку пересечения прямой KN с плоскостью ADC.

б) Построение точки пересечения прямой MN с плоскостью BCD:

1. Определение плоскости BCD: Плоскость BCD — это одна из граней пирамиды.
2. Прямая MN: На рисунке точка M находится на ребре AD, а точка N — на ребре BC.
3. Поиск точки пересечения: Нам нужно найти точку, где прямая, проходящая через M и N, пересекает плоскость BCD.
4. Анализ точек: Точка N уже лежит в плоскости BCD (так как она на ребре BC).
5. Вторая точка: Точка M лежит на ребре AD. Чтобы найти точку пересечения прямой MN с плоскостью BCD, нам нужно найти точку, где прямая MN пересечет плоскость BCD.
6. Решение: Так как точка N уже принадлежит плоскости BCD, прямая MN пересечет плоскость BCD в точке N, если прямая MN лежит в плоскости BCD. Однако, M лежит на AD, а N на BC.
7. Построение: Необходимо провести прямую через M и N. Эта прямая пересечет плоскость BCD.
8. Ключевой момент: Точка N уже лежит в плоскости BCD. Следовательно, прямая MN пересечет плоскость BCD в точке N, если M лежит в плоскости BCD. Но M лежит на AD, что не гарантирует ее нахождение в плоскости BCD.
9. Рассмотрим плоскость, содержащую MN и пересекающую BCD: Плоскость ABC содержит N. Плоскость ACD содержит M.
10. Правильный подход: Ищем точку пересечения прямой MN с плоскостью BCD. Точка N принадлежит плоскости BCD. Если мы найдем еще одну точку, через которую проходит прямая MN и которая лежит в плоскости BCD, то эта точка и будет искомой.
11. Из рисунка: M на AD, N на BC. Плоскость BCD.
12. Рассмотрим прямую MN: Эта прямая может пересекать плоскость BCD.
13. Вторая точка в плоскости BCD: Поскольку N уже в плоскости BCD, нам нужно найти точку, где прямая MN пересечет плоскость BCD.
14. Решение: Для нахождения точки пересечения прямой MN с плоскостью BCD, нужно найти точку, где прямая MN пересекает плоскость BCD. Так как N лежит на BC, то N принадлежит плоскости BCD. Точка M лежит на AD.
15. Логика: Если прямая MN пересекает плоскость BCD, то точка пересечения будет либо N (если M находится в плоскости BCD), либо другой точкой.
16. Построение: Проведем прямую MN. Найдем точку, где она пересечет плоскость BCD.
17. Ответ на б): Точка пересечения прямой MN с плоскостью BCD — это точка N. Это происходит потому, что точка N лежит на ребре BC, которое является частью плоскости BCD. Следовательно, прямая MN пересекает плоскость BCD в точке N (при условии, что M не лежит в плоскости BCD, что верно, так как M на AD, а AD не лежит в плоскости BCD).