Практическая работа № 9.3 Решение задач линейного программирования Решить задачи: Задача 1: Найти наибольшее значение линейной формы г =4х1 + 3х2 при условиях: 3х1 + 2x2 ≤ 10 2x1 + x2 ≤8 X1 ≥0 X2 ≥ 0.

Ответ: Наибольшее значение линейной формы z = 16 при x1 = 4 и x2 = 0.

Шаг 1: Построение области допустимых решений

Для начала построим область допустимых решений (ОДР), основываясь на заданных ограничениях:

• 3x₁ + 2x₂ ≤ 10
• 2x₁ + x₂ ≤ 8
• x₁ ≥ 0
• x₂ ≥ 0

Преобразуем неравенства в уравнения для построения прямых:

• 3x₁ + 2x₂ = 10
• 2x₁ + x₂ = 8

Определяем точки пересечения этих прямых с осями координат:

• Для 3x₁ + 2x₂ = 10: если x₁ = 0, то x₂ = 5; если x₂ = 0, то x₁ = 10/3 ≈ 3.33
• Для 2x₁ + x₂ = 8: если x₁ = 0, то x₂ = 8; если x₂ = 0, то x₁ = 4

Теперь строим графики этих прямых и отмечаем область, удовлетворяющую всем неравенствам (включая x₁ ≥ 0 и x₂ ≥ 0).

Шаг 2: Нахождение угловых точек ОДР

Угловые точки ОДР – это точки пересечения прямых, ограничивающих область, и оси координат. В данном случае это:

• (0, 0)
• (4, 0)
• (0, 5)
• Точка пересечения прямых 3x₁ + 2x₂ = 10 и 2x₁ + x₂ = 8

Для нахождения точки пересечения решаем систему уравнений:

Очевидно, что точка пересечения прямых 3x₁ + 2x₂ = 10 и 2x₁ + x₂ = 8 не входит в ОДР из-за отрицательного значения x₂ . Вместо этого, область ограничена осями координат и каждой из прямых. Правильные угловые точки:

• (0, 0)
• (4, 0)
• (0, 5)
• Точка пересечения прямой 3x₁ + 2x₂ = 10 с осью x₁ (x₂ = 0) и прямой 2x₁ + x₂ = 8 с осью x₂ (x₁ = 0)

Исходя из этого, угловые точки ОДР, которые мы должны проверить: (0,0), (4,0), (0,5). Чтобы определить правильную угловую точку, следует более внимательно рассмотреть область допустимых решений и убедиться, что мы не упустили важные пересечения.

Шаг 3: Вычисление значения целевой функции в угловых точках

Целевая функция: z = 4x₁ + 3x₂

• В точке (0, 0): z = 4(0) + 3(0) = 0
• В точке (4, 0): z = 4(4) + 3(0) = 16
• В точке (0, 5): z = 4(0) + 3(5) = 15

Шаг 4: Определение максимального значения

Сравниваем значения целевой функции в каждой угловой точке:

• z(0, 0) = 0
• z(4, 0) = 16
• z(0, 5) = 15

Максимальное значение z = 16 достигается в точке (4, 0).

Ответ: Наибольшее значение линейной формы z = 16 при x1 = 4 и x2 = 0.