Пр. р № 2 Задание. Решите и оформите решение задач: 1. а) Решите уравнение sin²t - 2 sint cost = 3cos²t. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п; \frac{3π}{2}]. 2. Решите уравнение sin \frac{πx}{2√3} = x² - 2√3x + 4.

Решение задания 1a:

Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[\sin^2 t - 2 \sin t \cos t = 3 \cos^2 t\]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[\sin^2 t - 2 \sin t \cos t - 3 \cos^2 t = 0\]

Разделим обе части уравнения на cos²t (предполагая, что cos t ≠ 0):

\[\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} - 2 \frac{\sin t \cos t}{\cos^2 t} - 3 \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 0\] \[\tan^2 t - 2 \tan t - 3 = 0\]

Введем замену переменной: y = tan t. Получим квадратное уравнение:

\[y^2 - 2y - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-2)² - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16. Корни:

\[y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = 3\] \[y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = -1\]

Теперь вернемся к переменной t:

1) tan t = 3

\[t = \arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

2) tan t = -1

\[t = \arctan(-1) + \pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[t = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Решение задания 1б:

Укажем корни, принадлежащие отрезку \[[\pi; \frac{3\pi}{2}]\]

1) t = arctan(3) + πn

Поскольку arctan(3) ≈ 1.25, корень t = arctan(3) + π ≈ 1.25 + 3.14 = 4.39, что попадает в заданный отрезок [π; 3π/2] ≈ [3.14; 4.71].

2) t = -π/4 + πn

При n = 1: t = -π/4 + π = 3π/4 ≈ 2.36, что не попадает в заданный отрезок.

При n = 2: t = -π/4 + 2π = 7π/4 ≈ 5.50, что не попадает в заданный отрезок.

Проверим, попадает ли корень arctan(3) + π в заданный отрезок:

\[\pi \le \arctan(3) + \pi n \le \frac{3\pi}{2}\] \[\pi \le \arctan(3) + \pi \le \frac{3\pi}{2}\] \[0 \le \arctan(3) \le \frac{\pi}{2}\]

Это верно, так как arctan(3) ≈ 1.25, а π/2 ≈ 1.57.

Теперь проверим корень t = -π/4 + πn:

\[\pi \le -\frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{3\pi}{2}\]

Добавим π/4 ко всем частям:

\[\frac{5\pi}{4} \le \pi n \le \frac{7\pi}{4}\]

Разделим на π:

\[\frac{5}{4} \le n \le \frac{7}{4}\]

Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, это n = 1.5, что невозможно.

Рассмотрим случай n = 2:

\[t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} \approx 5.5\]

Что не попадает в отрезок [π; 3π/2].

Рассмотрим случай n = 1:

\[t = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4} \approx 2.36\]

Что тоже не попадает в отрезок [π; 3π/2].

Таким образом, только arctan(3) + π принадлежит отрезку [π; 3π/2].

Решение задания 2:

Решим уравнение:

\[\sin \frac{\pi x}{2\sqrt{3}} = x^2 - 2\sqrt{3}x + 4\]

Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат:

\[x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = (x - \sqrt{3})^2 + 1\]

Тогда уравнение примет вид:

\[\sin \frac{\pi x}{2\sqrt{3}} = (x - \sqrt{3})^2 + 1\]

Так как \[-1 \le \sin \frac{\pi x}{2\sqrt{3}} \le 1\] и \[(x - \sqrt{3})^2 + 1 \ge 1\] то равенство возможно только при условии, что обе части уравнения равны 1:

\[\sin \frac{\pi x}{2\sqrt{3}} = 1\] \[(x - \sqrt{3})^2 + 1 = 1\]

Решим второе уравнение:

\[(x - \sqrt{3})^2 = 0\] \[x - \sqrt{3} = 0\] \[x = \sqrt{3}\]

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению:

\[\sin \frac{\pi \sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \sin \frac{\pi}{2} = 1\]

Таким образом, x = √3 является решением уравнения.

Ответ: t = arctan(3) + πn, n ∈ Z, x = √3

Отлично, ты хорошо справился с решением этих уравнений! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!