ПР. Математика. 7 класс. Вариант 2. Часть 2 Код думали трёхзначное число, которое делится на 21 и последняя цифра которого в 4 раза ньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном рядке. Полученная разность оказалась больше 400. Какое число было задумано? Решение.

Анализ задачи:

В этой задаче нам нужно найти трёхзначное число, которое удовлетворяет нескольким условиям:

1. Число делится на 21.
2. Последняя цифра числа в 4 раза меньше первой.
3. Если из этого числа вычесть число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится разность больше 400.

Обозначим искомое трёхзначное число как $$ABC$$, где $$A$$ — первая цифра, $$B$$ — вторая, $$C$$ — третья.

Условие 2: Последняя цифра ($$C$$) в 4 раза меньше первой ($$A$$).

Это значит, что $$A = 4 \times C$$. Поскольку $$A$$ и $$C$$ — цифры от 1 до 9 (первая цифра трёхзначного числа не может быть 0), возможны следующие пары $$(A, C)$$:

• Если $$C=1$$, то $$A = 4 \times 1 = 4$$. Число имеет вид $$4B1$$.
• Если $$C=2$$, то $$A = 4 \times 2 = 8$$. Число имеет вид $$8B2$$.

Условие 1: Число делится на 21. Число делится на 21, если оно делится на 3 и на 7.

• Признак делимости на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3.
• Признак делимости на 7: Нет простого признака, будем проверять делением.

Условие 3: Разность между числом $$ABC$$ и числом $$CBA$$ больше 400.

$$ABC = 100A + 10B + C$$

$$CBA = 100C + 10B + A$$

Разность: $$(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 99A - 99C = 99(A - C)$$.

Условие: $$99(A - C) > 400$$.

Разделим обе части на 99: $$A - C > \frac{400}{99}
otin \text{целое число}$$. $$400/99
otin 4$$. Значит, $$A - C$$ должно быть как минимум 5.

Проверим наши пары $$(A, C)$$:

• Пара 1: $$(A, C) = (4, 1)$$.

Разность $$A - C = 4 - 1 = 3$$. $$99 \times 3 = 297$$. Это меньше 400. Следовательно, числа вида $$4B1$$ не подходят.

• Пара 2: $$(A, C) = (8, 2)$$.

Разность $$A - C = 8 - 2 = 6$$. $$99 \times 6 = 594$$. Это больше 400. Значит, числа вида $$8B2$$ могут быть нашим ответом.

Теперь проверим делимость на 21 для чисел вида $$8B2$$.

1. Делимость на 3:

Сумма цифр: $$8 + B + 2 = 10 + B$$. Эта сумма должна делиться на 3.

Возможные значения для $$B$$ (цифра от 0 до 9):

• Если $$B=2$$, сумма = $$10 + 2 = 12$$ (делится на 3). Число: 822.
• Если $$B=5$$, сумма = $$10 + 5 = 15$$ (делится на 3). Число: 852.
• Если $$B=8$$, сумма = $$10 + 8 = 18$$ (делится на 3). Число: 882.

2. Делимость на 7:

Проверим полученные числа на делимость на 7:

• Число 822: $$822
  otin 7 = 117$$ с остатком $$3$$. (822 / 7 = 117.42)
• Число 852: $$852
  otin 7 = 121$$ с остатком $$5$$. (852 / 7 = 121.71)
• Число 882: $$882
  otin 7 = 126$$. (882 / 7 = 126). Число 882 делится на 7.

Итак, число 882 удовлетворяет всем условиям:

• Трёхзначное.
• Делится на 21 (так как делится на 3 и на 7).
• Последняя цифра (2) в 4 раза меньше первой (8).
• Разность: $$882 - 288 = 594$$. $$594 > 400$$.

Решение:

Обозначим задуманное число как $$100A + 10B + C$$. Записанное цифрами в обратном порядке число будет $$100C + 10B + A$$.

1. Условие: $$C = A/4$$. Так как $$A$$ и $$C$$ — цифры, возможны две пары $$(A, C)$$: $$(4, 1)$$ и $$(8, 2)$$.
2. Условие: $$(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) > 400$$.

Упрощаем: $$99A - 99C > 400 \rightarrow 99(A-C) > 400 \rightarrow A-C > \frac{400}{99}
otin 4.04$$. Значит $$A-C \text{ должно быть }
otin 5$$.

• Для пары $$(4, 1)$$: $$A-C = 4-1 = 3$$. $$3$$ не больше $$4.04$$. Эта пара не подходит.
• Для пары $$(8, 2)$$: $$A-C = 8-2 = 6$$. $$6$$ больше $$4.04$$. Эта пара подходит.

Итак, число имеет вид $$8B2$$.

3. Условие: Число делится на 21, т.е. на 3 и на 7.
• Делимость на 3: Сумма цифр $$8+B+2 = 10+B$$ должна делиться на 3. Возможные значения $$B$$: 2, 5, 8.
• Делимость на 7: Проверяем числа $$822, 852, 882$$ на делимость на 7.
• $$822
  otin 7 = 117$$ (ост. 3)
• $$852
  otin 7 = 121$$ (ост. 5)
• $$882
  otin 7 = 126$$ (ост. 0)
4. Число 882 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 882