Постройте в одной системе координат графики функций y = 6/x и y = x + 5 и определите координаты точек их пересечения.

Решение:

Нам нужно построить графики двух функций: \( y = \frac{6}{x} \) (гипербола) и \( y = x + 5 \) (прямая). Затем найдём точки, в которых эти графики пересекаются.

1. Построение графика функции \( y = \frac{6}{x} \):

• Это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.
• Возьмём несколько точек:
  • При \( x = 1 \), \( y = 6 \). Точка (1, 6).
  • При \( x = 2 \), \( y = 3 \). Точка (2, 3).
  • При \( x = 3 \), \( y = 2 \). Точка (3, 2).
  • При \( x = -1 \), \( y = -6 \). Точка (-1, -6).
  • При \( x = -2 \), \( y = -3 \). Точка (-2, -3).
  • При \( x = -3 \), \( y = -2 \). Точка (-3, -2).

2. Построение графика функции \( y = x + 5 \):

• Это прямая. Чтобы её построить, достаточно двух точек.
• При \( x = 0 \), \( y = 5 \). Точка (0, 5).
• При \( x = -5 \), \( y = 0 \). Точка (-5, 0).

3. Нахождение точек пересечения:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

\[ \frac{6}{x} = x + 5 \]

Умножим обе части на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\[ 6 = x^2 + 5x \]

Перенесём всё в одну сторону:

\[ x^2 + 5x - 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\( x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \) для каждой точки пересечения, подставив \( x \) в уравнение прямой \( y = x + 5 \) (можно и в \( y = \frac{6}{x} \), результат должен быть тем же):

• Для \( x_1 = 1 \): \( y_1 = 1 + 5 = 6 \). Точка пересечения: (1, 6).
• Для \( x_2 = -6 \): \( y_2 = -6 + 5 = -1 \). Точка пересечения: (-6, -1).

Визуализация:

Ответ: координаты точек пересечения: (1, 6) и (-6, -1).