Постройте схематично график функции y = x² + 2x + 2. Подсказки: • Найди вершину. • Определи, куда направлены ветви. • Пересекает ли эта парабола ось x? (Проверь дискриминант.)

Решение:

Дана функция \( y = x^2 + 2x + 2 \). Это квадратичная функция, графиком которой является парабола.

1. Направление ветвей:

Коэффициент при \( x^2 \) равен \( 1 \), что больше нуля. Следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Вершина параболы:

Координаты вершины \( (x_0, y_0) \) находятся по формулам:

\( x_0 = \frac{-b}{2a} \)

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = 2 \).

\( x_0 = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1 \)

Теперь найдём \( y_0 \), подставив \( x_0 \) в уравнение функции:

\( y_0 = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \)

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-1, 1) \).

3. Пересечение с осью x:

Чтобы найти точки пересечения с осью x, нужно решить уравнение \( x^2 + 2x + 2 = 0 \). Найдем дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \)

Так как \( D < 0 \), действительных корней нет, и парабола не пересекает ось x.

4. Пересечение с осью y:

Чтобы найти точку пересечения с осью y, подставим \( x = 0 \) в уравнение функции:

\( y = 0^2 + 2(0) + 2 = 2 \)

Парабола пересекает ось y в точке \( (0, 2) \).

5. Построение графика:

Отмечаем вершину параболы в точке \( (-1, 1) \). Ветви направлены вверх. Парабола не пересекает ось x. Точка пересечения с осью y — \( (0, 2) \). Также отметим симметричную точку относительно оси симметрии \( x = -1 \): если \( x = 0 \) дает \( y = 2 \), то \( x = -2 \) также даст \( y = (-2)^2 + 2(-2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2 \).