Постройте прямоугольник (единичный отрезок равен 1 см) с вершинами в точках А(-2; 1), B(1; 1), C(-2; -1). Найдите координаты точки D, если известно, что это четвертая вершина прямоугольника. Вычислить периметр и площадь прямоугольника.

Решение:

1. Построение точек и определение координат D:

Отметим точки А(-2; 1), B(1; 1), C(-2; -1) на координатной плоскости.

Заметим, что стороны AB и AC параллельны осям координат:

• AB параллельна оси Ox (y-координаты точек A и B равны 1).
• AC параллельна оси Oy (x-координаты точек A и C равны -2).

Чтобы найти координаты точки D, нужно учесть, что ABCD — прямоугольник. Следовательно, вектор \(\vec{AD}\) должен быть равен вектору \(\vec{BC}\), и вектор \(\vec{CD}\) должен быть равен вектору \(\vec{BA}\).

Поскольку AB параллельна Ox, а AC параллельна Oy, то вектор \(\vec{AD}\) должен быть равен сумме векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{AB}\) (по правилу параллелограмма). Или, проще, точка D будет иметь x-координату, как у точки B, и y-координату, как у точки C.

Таким образом, координаты точки D будут \( (1; -1) \).

2. Вычисление периметра:

Найдем длины сторон прямоугольника:

• Длина стороны AB (расстояние между A(-2; 1) и B(1; 1)):

\( AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(1+2)^2 + 0^2} = \sqrt{3^2} = 3 \) см.

• Длина стороны AC (расстояние между A(-2; 1) и C(-2; -1)):

\( AC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2 \) см.

Периметр прямоугольника \( P = 2(AB + AC) \):

\( P = 2(3 + 2) = 2 \cdot 5 = 10 \) см.

3. Вычисление площади:

Площадь прямоугольника \( S = AB \cdot AC \):

\( S = 3 \cdot 2 = 6 \) см².

Ответ: Координаты точки D — (1; -1). Периметр прямоугольника — 10 см. Площадь прямоугольника — 6 см².