Постройте ломаную МИАР, если М(-10; -3), N(-8; 5), A(0; −1), P(7; 2), и ломаную ВСЕ, если F(5; 3), C(-2; 7), В(-6; -3). Отметьте точки пересечения ломаных и запишите их координаты.

Дано:

• Ломаная МИАР: М(-10; -3), N(-8; 5), A(0; -1), P(7; 2)
• Ломаная ВСЕ: В(-6; -3), C(-2; 7), F(5; 3)

Построение ломаных:

• Ломаная МИАР состоит из отрезков MN, NA, AP.
• Ломаная ВСЕ состоит из отрезков BC, CF.

Нахождение точек пересечения:

Необходимо найти точки пересечения отрезков ломаных.

1. Пересечение отрезка AP с отрезком BC:

Уравнение прямой AP, проходящей через A(0; -1) и P(7; 2):

\( \frac{y - (-1)}{x - 0} = \frac{2 - (-1)}{7 - 0} \)

\( \frac{y + 1}{x} = \frac{3}{7} \)

\( 7(y + 1) = 3x \)

\( 7y + 7 = 3x \) (1)

Уравнение прямой BC, проходящей через B(-6; -3) и C(-2; 7):

\( \frac{y - (-3)}{x - (-6)} = \frac{7 - (-3)}{-2 - (-6)} \)

\( \frac{y + 3}{x + 6} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)

\( 2(y + 3) = 5(x + 6) \)

\( 2y + 6 = 5x + 30 \)

\( 2y - 5x = 24 \) (2)

Решаем систему уравнений (1) и (2):

Из (1): \( 7y = 3x - 7 \) => \( y = \frac{3x - 7}{7} \)

Подставляем во (2):

\( 2(\frac{3x - 7}{7}) - 5x = 24 \)

\( \frac{6x - 14}{7} - 5x = 24 \)

\( 6x - 14 - 35x = 168 \)

\( -29x = 182 \)

\( x = -\frac{182}{29} \approx -6.28 \)

\( y = \frac{3(-\frac{182}{29}) - 7}{7} = \frac{-\frac{546}{29} - \frac{203}{29}}{7} = \frac{-\frac{749}{29}}{7} = -\frac{107}{29} \approx -3.69 \)

Полученная точка (\(-\frac{182}{29}; -\frac{107}{29}\)) не принадлежит отрезку AP (x от 0 до 7) и отрезку BC (x от -6 до -2).

2. Пересечение отрезка NA с отрезком BC:

Уравнение прямой NA, проходящей через N(-8; 5) и A(0; -1):

\( \frac{y - 5}{x - (-8)} = \frac{-1 - 5}{0 - (-8)} \)

\( \frac{y - 5}{x + 8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4} \)

\( 4(y - 5) = -3(x + 8) \)

\( 4y - 20 = -3x - 24 \)

\( 4y + 3x = -4 \) (3)

Уравнение прямой BC: \( 2y - 5x = 24 \) (2)

Решаем систему уравнений (3) и (2):

Из (3): \( 4y = -3x - 4 \) => \( y = \frac{-3x - 4}{4} \)

Подставляем во (2):

\( 2(\frac{-3x - 4}{4}) - 5x = 24 \)

\( \frac{-3x - 4}{2} - 5x = 24 \)

\( -3x - 4 - 10x = 48 \)

\( -13x = 52 \)

\( x = -4 \)

\( y = \frac{-3(-4) - 4}{4} = \frac{12 - 4}{4} = \frac{8}{4} = 2 \)

Полученная точка (-4; 2). Проверяем принадлежность отрезкам:

Отрезок NA: x от -8 до 0. -4 принадлежит этому интервалу.

Отрезок BC: x от -6 до -2. -4 принадлежит этому интервалу.

Следовательно, точка пересечения отрезков NA и BC — (-4; 2).

3. Пересечение отрезка AP с отрезком CF:

Уравнение прямой AP: \( 7y + 7 = 3x \) (1)

Уравнение прямой CF, проходящей через C(-2; 7) и F(5; 3):

\( \frac{y - 7}{x - (-2)} = \frac{3 - 7}{5 - (-2)} \)

\( \frac{y - 7}{x + 2} = \frac{-4}{7} \)

\( 7(y - 7) = -4(x + 2) \)

\( 7y - 49 = -4x - 8 \)

\( 7y + 4x = 41 \) (4)

Решаем систему уравнений (1) и (4):

Из (1): \( 7y = 3x - 7 \)

Подставляем в (4):

\( (3x - 7) + 4x = 41 \)

\( 7x = 48 \)

\( x = \frac{48}{7} \approx 6.86 \)

\( y = \frac{3(\frac{48}{7}) - 7}{7} = \frac{\frac{144}{7} - \frac{49}{7}}{7} = \frac{\frac{95}{7}}{7} = \frac{95}{49} \approx 1.94 \)

Полученная точка (\(\frac{48}{7}; \frac{95}{49}\)). Проверяем принадлежность отрезкам:

Отрезок AP: x от 0 до 7. \(\frac{48}{7}\) принадлежит этому интервалу.

Отрезок CF: x от -2 до 5. \(\frac{48}{7}\) не принадлежит этому интервалу (6.86 > 5).

4. Пересечение отрезка NA с отрезком CF:

Уравнение прямой NA: \( 4y + 3x = -4 \) (3)

Уравнение прямой CF: \( 7y + 4x = 41 \) (4)

Решаем систему уравнений (3) и (4):

Из (3): \( 4y = -3x - 4 \)

Из (4): \( 7y = -4x + 41 \)

Умножим первое уравнение на 7, второе на 4:

\( 28y = -21x - 28 \)

\( 28y = -16x + 164 \)

Приравниваем:

\( -21x - 28 = -16x + 164 \)

\( -5x = 192 \)

\( x = -\frac{192}{5} = -38.4 \)

Полученная точка (-38.4; ...). x = -38.4 не принадлежит ни одному из отрезков.

5. Пересечение отрезка MN с отрезком BC:

Уравнение прямой MN, проходящей через M(-10; -3) и N(-8; 5):

\( \frac{y - (-3)}{x - (-10)} = \frac{5 - (-3)}{-8 - (-10)} \)

\( \frac{y + 3}{x + 10} = \frac{8}{2} = 4 \)

\( y + 3 = 4(x + 10) \)

\( y + 3 = 4x + 40 \)

\( y - 4x = 37 \) (5)

Уравнение прямой BC: \( 2y - 5x = 24 \) (2)

Решаем систему уравнений (5) и (2):

Из (5): \( y = 4x + 37 \)

Подставляем во (2):

\( 2(4x + 37) - 5x = 24 \)

\( 8x + 74 - 5x = 24 \)

\( 3x = 24 - 74 \)

\( 3x = -50 \)

\( x = -\frac{50}{3} \approx -16.67 \)

Полученная точка (\(-\frac{50}{3}; ...\)). x = -16.67 не принадлежит ни одному из отрезков.

6. Пересечение отрезка MN с отрезком CF:

Уравнение прямой MN: \( y - 4x = 37 \) (5)

Уравнение прямой CF: \( 7y + 4x = 41 \) (4)

Складываем уравнения (5) и (4):

\( (y - 4x) + (7y + 4x) = 37 + 41 \)

\( 8y = 78 \)

\( y = \frac{78}{8} = \frac{39}{4} = 9.75 \)

Подставляем \(y\) в (5):

\( \frac{39}{4} - 4x = 37 \)

\( -4x = 37 - \frac{39}{4} = \frac{148 - 39}{4} = \frac{109}{4} \)

\( x = -\frac{109}{16} \approx -6.81 \)

Полученная точка (\(-\frac{109}{16}; \frac{39}{4}\)). Проверяем принадлежность отрезкам:

Отрезок MN: x от -10 до -8. -6.81 не принадлежит этому интервалу.

Отрезок CF: x от -2 до 5. -6.81 не принадлежит этому интервалу.

Вывод: Единственная точка пересечения ломаных, которая принадлежит обоим отрезкам, — это точка (-4; 2), являющаяся пересечением отрезков NA и BC.

Ответ: Точка пересечения ломаных находится в координатах (-4; 2).