Постройте графики функций: 1) $y=1-x^2$; 2) $y=\frac{2}{x}$; 3) $y=\sqrt[8]{x}$; 4) $y=\frac{1-x}{x^2+2x-3}$; 5) $y=\begin{cases}2x-1,\ если\ x<0,\\-1,\ если\ 0\le x\le3,\\2-x,\ если\ x>3.\end{cases}$

Question

Постройте графики функций: 1) $y=1-x^2$; 2) $y=\frac{2}{x}$; 3) $y=\sqrt[8]{x}$; 4) $y=\frac{1-x}{x^2+2x-3}$; 5) $y=\begin{cases}2x-1,\ если\ x<0,\\-1,\ если\ 0\le x\le3,\\2-x,\ если\ x>3.\end{cases}$

$Фото задания: Постройте графики функций: 1) $y=1-x^2$; 2) $y=\frac{2}{x}$; 3) $y=\sqrt[8]{x}$; 4) $y=\frac{1-x}{x^2+2x-3}$; 5)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) $y=1-x^2$

Это парабола, ветви направлены вниз. Вершина: $(0;1)$, ось симметрии: $x=0$. Нули функции: $x=-1$ и $x=1$.

Точки для построения: $(-2;-3)$, $(-1;0)$, $(0;1)$, $(1;0)$, $(2;-3)$.

2) $y=\frac{2}{x}$

Это гипербола. Область определения: $x\ne0$. Асимптоты: $x=0$ и $y=0$. Ветви расположены в I и III координатных четвертях.

Точки: $(1;2)$, $(2;1)$, $(-1;-2)$, $(-2;-1)$.

3) $y=\sqrt[8]{x}$

Область определения: $x\ge0$, область значений: $y\ge0$. График начинается в точке $(0;0)$ и медленно возрастает.

Удобные точки: $(0;0)$, $(1;1)$, $(256;2)$, $(6561;3)$. Для более удобного масштаба можно использовать также приближённые значения: $(2;1.09)$, $(10;1.33)$.

4) $y=\frac{1-x}{x^2+2x-3}$

Разложим знаменатель:

\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1).\]

Тогда

\[y=\frac{-(x-1)}{(x+3)(x-1)}=-\frac1{x+3},\quad x\ne-3,\ x\ne1.\]

График — гипербола $y=-\frac1{x+3}$, сдвинутая на 3 единицы влево, с выколотой точкой при $x=1$:

\[y=-\frac1{1+3}=-\frac14.\]

Асимптоты: $x=-3$ и $y=0$. Выколотая точка: $(1;-\frac14)$.

5) $y=\begin{cases}2x-1,&x<0,\\-1,&0\le x\le3,\\2-x,&x>3.\end{cases}$

Для первого участка строится прямая $y=2x-1$ только при $x<0$; точка $(0;-1)$ открытая.

Второй участок — горизонтальный отрезок $y=-1$ при $0\le x\le3$, обе конечные точки $(0;-1)$ и $(3;-1)$ закрашенные.

Третий участок — луч прямой $y=2-x$ при $x>3$; при $x=3$ получаем значение $-1$, но точка относится ко второму участку.

Для построения достаточно отметить точки: для первого участка $(-1;-3)$, а при $x=0$ — открытую точку $(0;-1)$; для второго участка — отрезок от $(0;-1)$ до $(3;-1)$; для третьего участка — точки $(4;-2)$, $(5;-3)$, начиная с открытой точки $(3;-1)$.

Ответ: построить указанные параболу, гиперболы, корневой график и кусочную функцию по приведённым точкам, ограничениям и асимптотам.

Постройте графики функций: 1) \(y=1-x^2\); 2) \(y=\frac{2}{x}\); 3) \(y=\sqrt[8]{x}\); 4) \(y=\frac{1-x}{x^2+2x-3}\); 5) \(y=\begin{cases}2x-1,\ если\ x<0,\\-1,\ если\ 0\le x\le3,\\2-x,\ если\ x>3.\end{cases}\)

Ответ: