Постройте график функции у = { -x² + 10x - 21, x ≥ 3, -x+5, x < 3. Определите, при каких значениях m прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Привет! Давай вместе разберем эту задачку. Нам нужно построить график кусочно-заданной функции и определить, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

1. Анализ функции

Наша функция состоит из двух частей:

\( y = -x^2 + 10x - 21 \) при \( x \geq 3 \)

\( y = -x + 5 \) при \( x < 3 \)

2. Рассмотрим первую часть (квадратичная функция): \( y = -x^2 + 10x - 21 \) при \( x \geq 3 \)

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный.

Найдем вершину параболы:

\( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-10}{2(-1)} = 5 \)

\( y_в = -(5)^2 + 10(5) - 21 = -25 + 50 - 21 = 4 \)

Вершина параболы: \( (5, 4) \)

Теперь найдем значение функции при \( x = 3 \) (граничное значение):

\( y(3) = -(3)^2 + 10(3) - 21 = -9 + 30 - 21 = 0 \)

Таким образом, точка \( (3, 0) \) принадлежит графику.

3. Рассмотрим вторую часть (линейная функция): \( y = -x + 5 \) при \( x < 3 \)

Это прямая с угловым коэффициентом \( -1 \). Найдем значение функции при \( x = 3 \) (граничное значение):

\( y(3) = -3 + 5 = 2 \)

Так как \( x < 3 \), эта точка не принадлежит графику, но нам важно знать, куда стремится функция при приближении к этой точке.

4. Построение графика

5. Определение значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта прямая пересекает график ровно в двух точках.

Из графика видно, что это происходит в двух случаях:

1. Когда \( y = 0 \). Прямая \( y = 0 \) пересекает параболу в точке \( (3, 0) \) и линейную функцию (продолжение прямой) в какой-то точке.

2. Когда \( y = 4 \). Прямая \( y = 4 \) касается параболы в её вершине \( (5, 4) \) и пересекает линейную функцию в какой-то точке.

6. Ответ

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки при \( m = 0 \) и \( m = 4 \).

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!