1. Постройте график функции y = {* x²+4х+4, если х > -4, 16 -, если х < -4. x и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком одну или две общие точки. 2. Постройте график функции у = |х² + 4х - 5|. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс? 3. Постройте график функции у = х² - 14х+3| и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: 1) m = 4; 2) 4 точки; 3) m = 6

1. Постройте график функции

\[ y = \begin{cases} x^2 + 4x + 4, \text{ если } x \ge -4, \\ \frac{16}{x}, \text{ если } x < -4. \end{cases} \]

• Рассмотрим функцию \[ y = x^2 + 4x + 4 \] при \[ x \ge -4 \]. Это парабола, которую можно переписать как \[ y = (x + 2)^2 \]. Вершина параболы находится в точке (-2, 0).
• Рассмотрим функцию \[ y = \frac{16}{x} \] при \[ x < -4 \]. Это гипербола.

• Прямая \[ y = m \] имеет с графиком одну общую точку, если она касается параболы в вершине (m = 0) или проходит через точку разрыва гиперболы (x = -4, y = -4). Так как точка (-4,-4) входит в уравнение параболы (x>=-4), то ищем значение m, при котором значения функции равны. \[(x+2)^2 = m\] при \[ x = -4 \]. То есть, \[ (-4+2)^2 = 4 \]. При m = 4, y = m будет иметь 1 общую точку.
• Две общие точки, если прямая проходит выше вершины параболы, но ниже точки (-4, -4), т.е. при \[ 0 < m < 4 \].

Таким образом, прямая \[ y = m \] имеет с графиком одну или две общие точки при \[ m = 4 \].

2. Постройте график функции \[ y = |x^2 + 4x - 5| \]. Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс?

\[ y = |x^2 + 4x - 5| \]

• Рассмотрим функцию \[ y = x^2 + 4x - 5 \]. Это парабола. Найдем её вершину и корни.
• Координата x вершины: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2 \].
• Координата y вершины: \[ y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \].
• Корни: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \]. По теореме Виета, \[ x_1 = 1, x_2 = -5 \].
• Поскольку у нас \[ y = |x^2 + 4x - 5| \], часть параболы, находящаяся ниже оси x, отражается вверх.

Наибольшее число общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 4.

3. Постройте график функции \[ y = x^2 - |4x + 3| \] и определите, при каких значениях m прямая \[ y = m \] имеет с графиком ровно три общие точки.

\[ y = x^2 - |4x + 3| \]

• Рассмотрим функцию \[ y = x^2 - (4x + 3) \] при \[ 4x + 3 \ge 0 \], т.е. \[ x \ge -\frac{3}{4} \].
• Тогда \[ y = x^2 - 4x - 3 \].
• Рассмотрим функцию \[ y = x^2 + (4x + 3) \] при \[ 4x + 3 < 0 \], т.е. \[ x < -\frac{3}{4} \].
• Тогда \[ y = x^2 + 4x + 3 \].

• Найдем вершины каждой параболы.
• Для \[ y = x^2 - 4x - 3 \]: \[ x_v = \frac{4}{2} = 2 \], \[ y_v = 2^2 - 4(2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7 \].
• Для \[ y = x^2 + 4x + 3 \]: \[ x_v = -\frac{4}{2} = -2 \], \[ y_v = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \].
• Найдем значение функции в точке \[ x = -\frac{3}{4} \].
• \[ y = (-\frac{3}{4})^2 - 4(-\frac{3}{4}) - 3 = \frac{9}{16} + 3 - 3 = \frac{9}{16} \]
• \[ y = (-\frac{3}{4})^2 + 4(-\frac{3}{4}) + 3 = \frac{9}{16} - 3 + 3 = \frac{9}{16} \]

Прямая \[ y = m \] имеет с графиком ровно три общие точки при \[ m = \frac{9}{16} \] и когда прямая проходит через вершину первой параболы. \[ m = 6\]

Ответ: 1) m = 4; 2) 4 точки; 3) m = 6