22. Постройте график функции: y = (x² + 6,25)(x+1) / (-1-x) Определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию:

$$y = \frac{(x^2 + 6.25)(x+1)}{-(x+1)}$$

Сокращаем на (x+1), но помним, что x ≠ -1 (это важно для дальнейшего анализа).

$$y = -(x^2 + 6.25), \quad x
eq -1$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, -6.25). Теперь проанализируем, при каких значениях k прямая y = kx имеет с этой параболой ровно одну общую точку.

Прямая y = kx проходит через начало координат. Для того, чтобы у прямой и параболы была только одна общая точка, надо чтобы выполнялось условие касания или прямая проходила через выколотую точку.

Найдем точки пересечения прямой и параболы:

$$kx = -(x^2 + 6.25)$$

$$x^2 + kx + 6.25 = 0$$

Чтобы было одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = k^2 - 4 \cdot 6.25 = 0$$

$$k^2 = 25$$

$$k = \pm 5$$

Теперь проверим, при каком k прямая y = kx проходит через выколотую точку x = -1. Подставим x = -1 в уравнение параболы:

$$y = -((-1)^2 + 6.25) = -7.25$$

Прямая должна проходить через точку (-1, -7.25):

$$-7.25 = k \cdot (-1)$$

$$k = 7.25$$

Таким образом, получаем три значения k, при которых прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку: k = 5, k = -5, k = 7.25

Теперь построим график функции и несколько прямых y=kx для наглядности: