Постройте график функции y=5|x-2|-x²+5x-6. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Ответ: m = 3.25 и m = 4

Строим график функции y=5|x-2|-x²+5x-6:

1. Раскрываем модуль:

\[|x-2| = \begin{cases} x-2, & x \geq 2 \\ -(x-2), & x < 2 \end{cases}\]

2. Получаем две функции:

а) x \(\geq\) 2:

\[y = 5(x-2) - x^2 + 5x - 6 = 5x - 10 - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 10x - 16\]

б) x < 2:

\[y = -5(x-2) - x^2 + 5x - 6 = -5x + 10 - x^2 + 5x - 6 = -x^2 + 4\]

3. Строим графики этих функций.

\[y = \begin{cases} -x^2 + 10x - 16, & x \geq 2 \\ -x^2 + 4, & x < 2 \end{cases}\]

4. Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки при m = 3.25 и m = 4.

Ответ: m = 3.25 и m = 4