Постройте график функции y=x|x|+ |x|- 5x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

1. Шаг 1: Упростим функцию:
   • Если \[ x \ge 0 \], то \[ |x| = x \]. Тогда функция примет вид:

     \[ y = x \cdot x + x - 5x = x^2 - 4x \]

   • Если \[ x < 0 \], то \[ |x| = -x \]. Тогда функция примет вид:

     \[ y = x \cdot (-x) + (-x) - 5x = -x^2 - 6x \]

2. Шаг 2: Определим вершины парабол:
   • Для \[ y = x^2 - 4x \], вершина находится в точке \[ x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \]. Значение функции в этой точке: \[ y_v = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 \]. Таким образом, вершина первой параболы в точке (2, -4).
   • Для \[ y = -x^2 - 6x \], вершина находится в точке \[ x_v = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = -3 \]. Значение функции в этой точке: \[ y_v = -(-3)^2 - 6 \cdot (-3) = -9 + 18 = 9 \]. Таким образом, вершина второй параболы в точке (-3, 9).
3. Шаг 3: Определим точки, где графики пересекаются с осями:
   • Для \[ y = x^2 - 4x = x(x-4) \], график пересекает ось x в точках x=0 и x=4.
   • Для \[ y = -x^2 - 6x = -x(x+6) \], график пересекает ось x в точках x=0 и x=-6.
4. Шаг 4: Нарисуем график функции.

5. Шаг 5: Прямая y = m будет иметь ровно две общие точки с графиком, если она проходит через вершину первой параболы (y = -4) или через точку x=0 (y = 0). Значит, значения m равны -4 и 9.

Ответ: m = -4 и m = 9