Постройте график функции y = {|x|, x ≤ 3, {-2/3*x + 5, x > 3. Найдите, при каких значениях k прямая y = k имеет с графиком ровно две общие точки.

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• Для \( x \le 3 \), \( y = |x| \). Это часть параболы \( y = x \) для \( x \in [0, 3] \) и часть параболы \( y = -x \) для \( x \in (-\infty, 0) \).
• Для \( x > 3 \), \( y = -\frac{2}{3}x + 5 \). Это часть прямой линии.

График:

Анализ точек пересечения с прямой y = k:

Прямая \( y = k \) — горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения \( k \), при которых эта линия пересекает график функции ровно в двух точках.

1. Часть графика \( y = |x| \) для \( x \le 3 \):
   • Для \( x \in [0, 3] \), \( y = x \). Здесь \( y \) принимает значения от 0 до 3.
   • Для \( x \in (-\infty, 0) \), \( y = -x \). Здесь \( y \) принимает значения от \( \infty \) до 0.

   Таким образом, на интервале \( x \le 3 \), \( y \) принимает значения от 0 до \( \infty \).

2. Часть графика \( y = -\frac{2}{3}x + 5 \) для \( x > 3 \):

   При \( x = 3 \), значение функции стремится к \( -\frac{2}{3}(3) + 5 = -2 + 5 = 3 \). Так как \( x > 3 \), то \( y \) принимает значения меньше 3.

   При \( x \to \infty \), \( y \to -\infty \).

   Следовательно, на интервале \( x > 3 \), \( y \) принимает значения из интервала \( (-\infty, 3) \).

3. Объединяем диапазоны значений y:
   • На \( x \le 3 \), \( y \in [0, \infty) \).
   • На \( x > 3 \), \( y \in (-\infty, 3) \).

   График функции состоит из двух частей:

   • Вершина в \( (0, 0) \), идет вверх до \( (3, 3) \) (часть \( y=x \)), и идет вниз до \( (3, 3) \) (часть \( y=-x \)).
   • От точки \( (3, 3) \) (не включая её, но близко к ней) идет прямая \( y = -\frac{2}{3}x + 5 \) вниз.

   Ищем пересечения с \( y = k \):

   Прямая \( y = k \) будет иметь ровно две точки пересечения, если она проходит через:

   • Вершину параболы \( y = |x| \) при \( x=0 \) (т.е. \( k=0 \)). В этом случае одна точка пересечения с \( y=|x| \) (при \( x=0 \)) и одна точка пересечения с \( y=-\frac{2}{3}x+5 \) (так как \( 0 < 3 \)). Это дает 2 точки.
   • Ветвь \( y = -x \) для \( x < 0 \) и ветвь \( y = x \) для \( 0 < x < 3 \) (т.е. \( 0 < k < 3 \)). Здесь будет одна точка пересечения с \( y = -x \) (при \( x = -k \)) и одна точка пересечения с \( y = x \) (при \( x = k \)). Обе эти точки имеют \( x < 3 \). При этом, для \( y=k \) где \( 0 < k < 3 \) будет также одна точка пересечения с \( y = -2/3x + 5 \) (так как \( k < 3 \)). Это дает 3 точки.
   • Точку \( (3, 3) \). При \( k = 3 \), одна точка пересечения с \( y=|x| \) (при \( x=3 \)) и одна точка пересечения с \( y = -\frac{2}{3}x + 5 \) (найдем \( x \): \( 3 = -\frac{2}{3}x + 5 \) \( \Rightarrow \) \( -2 = -\frac{2}{3}x \) \( \Rightarrow \) \( x = 3 \)). То есть, при \( k=3 \) есть только одна точка \( (3, 3) \).
   • Диапазон \( k < 0 \). Одна точка пересечения с \( y = -x \) (при \( x = -k \), и \( -k > 0 \) но \( -k \not< 3 \) если \( k < 0 \)) и одна точка с \( y = -2/3x + 5 \) (так как \( k < 3 \)). Это дает 2 точки.
   • Диапазон \( k > 3 \). Одна точка пересечения с \( y = -x \) (при \( x = -k \), и \( -k \) будет \( < -3 \), что удовлетворяет \( x < 3 \)). Ни одной точки пересечения с \( y = -2/3x + 5 \) (так как \( k > 3 \)). Это дает 1 точку.

   Таким образом, ровно две точки пересечения будут при \( k = 0 \) (одна точка на \( y=|x| \) и одна на \( y=-2/3x+5 \)) и при \( k < 0 \) (одна точка на \( y=-x \) и одна на \( y=-2/3x+5 \)).

Ответ: k \( < 0 \) или k = 0.