Постройте график функции y = { x²+6x+10,x < -1, 4- x, x > -1 При каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки?

Решение:

Задан график функции, состоящий из двух частей:

1. Первая часть: \( y = x^2 + 6x + 10 \) при \( x < -1 \). Это часть параболы. Найдем вершину параболы:

   \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot 1} = -3 \)

   \( y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 10 = 9 - 18 + 10 = 1 \)

   Вершина параболы находится в точке \( (-3, 1) \). Поскольку \( x_в = -3 < -1 \), вершина относится к этой части графика.

   Найдем значение функции в точке \( x = -1 \) (хотя сама точка не включается):

   \( y(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 10 = 1 - 6 + 10 = 5 \)

   Таким образом, для \( x < -1 \) график идет от \( y=5 \) (не включая) вниз до вершины \( y=1 \) и затем вверх.

2. Вторая часть: \( y = 4 - x \) при \( x \ge -1 \). Это часть прямой линии.

   Найдем значение функции в точке \( x = -1 \):

   \( y(-1) = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5 \)

   Таким образом, для \( x \ge -1 \) график начинается в точке \( (-1, 5) \) и убывает с наклоном \( -1 \).

Поиск значений m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти значения \( m \), при которых эта линия пересекает график функции ровно в двух точках.

Анализируя график:

• Если \( m < 1 \), прямая \( y = m \) не пересекает график.
• Если \( m = 1 \), прямая \( y = m \) пересекает график в одной точке (вершина параболы).
• Если \( 1 < m < 5 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках (одну на параболе, другую на прямой).
• Если \( m = 5 \), прямая \( y = m \) пересекает график в двух точках (точка \( (-1, 5) \) и одна точка на параболе).
• Если \( m > 5 \), прямая \( y = m \) пересекает график в одной точке (на параболе).

Таким образом, прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком, когда \( 1 < m \le 5 \).

Ответ: при \( 1 < m \le 5 \).