Постройте график функции y = x² − 6|x| + 8 и найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; 4].

Раскроем модуль:

При \(x \ge 0\): \(y=x^2-6x+8=(x-3)^2-1\).

При \(x \le 0\): \(y=x^2+6x+8=(x+3)^2-1\).

График состоит из двух ветвей парабол:

• на \([-4;0]\): \(y=(x+3)^2-1\), вершина \((-3;-1)\);
• на \([0;4]\): \(y=(x-3)^2-1\), вершина \((3;-1)\).

Основные точки графика: \((-4;0)\), \((-3;-1)\), \((0;8)\), \((3;-1)\), \((4;0)\).

Вычислим значения функции в концах отрезка и в точках вершин:

1. \(f(-4)=16-24+8=0\);
2. \(f(0)=8\);
3. \(f(4)=16-24+8=0\);
4. в вершинах парабол \(f(-3)=f(3)=-1\).

Так как на каждой части отрезка парабола направлена вверх, наибольшее значение достигается на одном из концов или в точке \(x=0\). Сравниваем: \(0, 8, 0\).

Ответ: наибольшее значение функции равно 8 и достигается при x = 0.