Постройте график функции y = { -x²+3, |x| ≤ 2, 1/4x² - 2, |x| > 2. Найдите, при каком значении m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• При \( |x| \le 2 \) (то есть \( -2 \le x \le 2 \)), \( y = -x^2 + 3 \). Это парабола с вершиной в точке (0, 3), ветви направлены вниз.
• При \( |x| > 2 \) (то есть \( x < -2 \) или \( x > 2 \)), \( y = \frac{1}{4}x^2 - 2 \). Это парабола с вершиной в точке (0, -2), ветви направлены вверх.

Рассмотрим значения функции на границах интервалов:

• При \( x = 2 \): \( y = -(2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1 \). Точка (2, -1).
• При \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 + 3 = -4 + 3 = -1 \). Точка (-2, -1).
• При \( x = 2 \) (для второй части): \( y = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 = \frac{1}{4}(4) - 2 = 1 - 2 = -1 \). Точка (2, -1).
• При \( x = -2 \) (для второй части): \( y = \frac{1}{4}(-2)^2 - 2 = \frac{1}{4}(4) - 2 = 1 - 2 = -1 \). Точка (-2, -1).

Вершина второй параболы находится в (0, -2), но этот интервал \( |x| > 2 \) не включает \( x=0 \).

График состоит из:

• Части параболы \( y = -x^2 + 3 \) на отрезке \( [-2, 2] \).
• Части параболы \( y = \frac{1}{4}x^2 - 2 \) на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).

Нахождение значения m:

Прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно три общие точки. Проанализируем график:

• Вершина первой параболы \( y = -x^2 + 3 \) находится в точке (0, 3).
• Значения функции на краях \( x = \pm 2 \) равны -1.
• Вторая часть графика \( y = \frac{1}{4}x^2 - 2 \) находится выше \( y=-1 \) для \( |x| > 2 \).

Чтобы прямая \( y = m \) имела три общие точки, она должна проходить через:

1. Вершину первой параболы: \( m = 3 \). В этом случае прямая пересекает первую параболу в одной точке (вершине) и каждую из двух ветвей второй параболы по одному разу (т.к. \( \frac{1}{4}x^2 - 2 = 3 \) имеет решения \( x^2 = 16 \), \( x = \pm 4 \), которые удовлетворяют условию \( |x| > 2 \)). Всего 3 точки.
2. Уровни, где первая парабола имеет два пересечения, а вторая - ноль: Это происходит, когда \( -1 < m < 3 \). Например, при \( m=0 \) мы имеем 2 пересечения с первой параболой и 0 с второй. Не подходит.
3. Уровни, где первая парабола имеет два пересечения, а вторая - одно: Это возможно, если прямая проходит через точки \( (-2, -1) \) или \( (2, -1) \). При \( m = -1 \), прямая \( y = -1 \) пересекает первую параболу в двух точках (\( x=\pm 2 \)) и каждую ветвь второй параболы в одной точке (\( \frac{1}{4}x^2 - 2 = -1 \) \( x^2=4 \) \( x=\pm 2 \), но \( |x| > 2 \) не выполняется, поэтому только по одной точке с каждой стороны, где \( |x| > 2 \)). Таким образом, при \( m = -1 \) получаем 2 точки.

Прямая \( y=m \) будет иметь ровно три общие точки, если она проходит через вершину первой параболы.

Ответ: m = 3.