Постройте график функции y = { x² - 2x - 1, x ≥ -2; -14/x, x < -2 }. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком три общие точки. В ответ запишите наибольшее целое число, входящее в решение.

Решение:

Данную функцию можно представить как две части:

• \( y = x^2 - 2x - 1 \) при \( x \ge -2 \)
• \( y = -\frac{14}{x} \) при \( x < -2 \)

1. График функции \( y = x^2 - 2x - 1 \)

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы:

\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \)

\( y_в = (1)^2 - 2(1) - 1 = 1 - 2 - 1 = -2 \)

Вершина параболы находится в точке \( (1, -2) \).

Найдем значение функции на границе интервала \( x = -2 \):

\( y(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 1 = 4 + 4 - 1 = 7 \)

Таким образом, первая часть графика — это часть параболы с вершиной в \( (1, -2) \), проходящая через точку \( (-2, 7) \) и далее вправо.

2. График функции \( y = -\frac{14}{x} \)

Это гипербола. При \( x < -2 \).

Найдем значение функции на границе интервала \( x = -2 \):

\( y(-2) = -\frac{14}{-2} = 7 \)

Таким образом, вторая часть графика — это часть гиперболы, проходящая через точку \( (-2, 7) \) и уходящая влево (в третью и первую четверти).

3. Взаимодействие с прямой \( y = m \)

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти значения \( m \), при которых эта линия пересекает график функции в трех точках.

Проанализируем график:

• При \( m > 7 \): прямая пересекает обе части графика по одному разу, всего 2 точки.
• При \( m = 7 \): прямая проходит через точку \( (-2, 7) \), где графики «встречаются». Она пересечет параболу еще раз (при \( x > 1 \)) и гиперболу (при \( x < -2 \) но значение \( y \) будет больше 7). При \( m=7 \) имеем 3 точки пересечения: \( (-2,7) \), \( x_p = 1+\sqrt{8} \), \( x_h = -14/7 = -2 \) - нет, \( y=7 \) пересечет параболу в двух точках \( x=-2 \) и \( x=1+\sqrt{8} \), и гиперболу в одной точке \( x=-2 \). То есть в точке \( x=-2 \) две ветви графика сходятся, и мы получаем 3 точки.
• При \( -2 < m < 7 \): прямая пересекает параболу дважды (так как \( y_{верш} = -2 \)) и гиперболу один раз. Всего 3 точки.
• При \( m = -2 \): прямая совпадает с вершиной параболы, пересекает гиперболу один раз. Всего 2 точки.
• При \( m < -2 \): прямая пересекает гиперболу один раз (при \( x < -2 \)) и не пересекает параболу. Всего 1 точка.

Таким образом, три общие точки получаются при \( -2 < m < 7 \).

4. Наибольшее целое число

Наибольшее целое число, входящее в интервал \( -2 < m < 7 \), это \( 6 \).

Ответ: 6.