Постройте график функции y = x^2 - 10x + 25 при x >= 4 и y = x - 2 при x < 4. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Заданная функция состоит из двух частей:

• Для \( x \ge 4 \): \( y = x^2 - 10x + 25 \). Это парабола, ветви вверх. Вершина параболы находится в точке \( x = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5 \). Значение функции в вершине: \( y = 5^2 - 10 \cdot 5 + 25 = 25 - 50 + 25 = 0 \). Вершина находится в точке (5, 0). Так как \( x \ge 4 \), мы рассматриваем правую часть параболы, начиная от точки \( x = 4 \). При \( x = 4 \), \( y = 4^2 - 10 \cdot 4 + 25 = 16 - 40 + 25 = 1 \). Таким образом, начало этого участка графика — точка (4, 1) (не включая).
• Для \( x < 4 \): \( y = x - 2 \). Это прямая. При \( x = 4 \) (но не включая), \( y = 4 - 2 = 2 \). При \( x = 0 \), \( y = -2 \). Начало этого участка графика — точка (4, 2) (не включая).

График функции состоит из:

• Части параболы \( y = (x - 5)^2 \) при \( x \ge 4 \), начиная с точки (4, 1) и включая вершину (5, 0).
• Луча прямой \( y = x - 2 \) при \( x < 4 \), заканчивая в точке (4, 2) (не включая).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с этим графиком ровно две общие точки.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая.

1. Если \( m > 2 \), прямая \( y = m \) пересекает только часть параболы, причем в двух точках (так как парабола идет вверх от \( x = 4 \) и ее вершина находится ниже \( x=4 \)).
2. Если \( m = 2 \), прямая \( y = m \) проходит через точку (4, 2). Она пересекает часть параболы в двух точках (например, при \( x \approx 5 - \sqrt{2} \) и \( x \approx 5 + \sqrt{2} \) ).
3. Если \( 1 < m < 2 \), прямая \( y = m \) пересекает часть параболы в двух точках.
4. Если \( m = 1 \), прямая \( y = m \) проходит через точку (4, 1). Она пересекает луч прямой \( y = x - 2 \) в одной точке (при \( x = 3 \), т.к. \( 3 - 2 = 1 \)) и пересекает часть параболы в одной точке (4, 1). Это дает в сумме две точки.
5. Если \( 0 < m < 1 \), прямая \( y = m \) пересекает часть параболы в двух точках.
6. Если \( m = 0 \), прямая \( y = m \) является касательной к параболе в ее вершине (5, 0). Это одна точка.
7. Если \( m < 0 \), прямая \( y = m \) не пересекает график.

Ищем условие, когда прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки.

• Если \( m > 2 \), то прямая \( y = m \) пересекает только ту часть параболы, где \( x > 4 \). Так как \( y = (x-5)^2 \), то \( (x-5)^2 = m \) имеет два решения для \( x \) если \( m > 0 \). Одно из решений будет \( x = 5 + \sqrt{m} \) (которое всегда \( > 5 \), т.е. \( \ge 4 \)), другое \( x = 5 - \sqrt{m} \). Если \( m>2 \), то \( \sqrt{m} > \sqrt{2} \approx 1.414 \). Тогда \( 5 - \sqrt{m} < 5 - 1.414 = 3.586 \). Это значение \( x < 4 \), поэтому оно не попадает в область определения части параболы. Значит, при \( m > 2 \) мы имеем только одну точку пересечения с параболой.
• Рассмотрим случай \( 1 < m < 2 \). Прямая \( y = m \) пересекает часть параболы \( y=(x-5)^2 \) при \( x > 4 \). \( (x-5)^2 = m \) \( x-5 = ±\sqrt{m} \) \( x = 5 ±\sqrt{m} \). \( x_1 = 5 + \sqrt{m} \) (всегда \( > 5 \), значит \( \ge 4 \)). \( x_2 = 5 - \sqrt{m} \). Так как \( 1 < m < 2 \), то \( 1 < \sqrt{m} < \sqrt{2} \approx 1.414 \). Тогда \( 5 - \sqrt{m} \) будет в диапазоне \( 5 - \sqrt{2} < x_2 < 5 - 1 \), т.е. \( 3.586 < x_2 < 4 \). Эта точка \( x_2 < 4 \) не входит в область определения части параболы. Значит, при \( 1 < m < 2 \) прямая \( y = m \) пересекает только часть параболы и только в одной точке \( x = 5 + \sqrt{m} \).
• Рассмотрим случай \( 0 < m < 1 \). \( x = 5 ±\sqrt{m} \). \( x_1 = 5 + \sqrt{m} \) ( \( > 5 \), значит \( \ge 4 \)). \( x_2 = 5 - \sqrt{m} \). Так как \( 0 < m < 1 \), то \( 0 < \sqrt{m} < 1 \). Тогда \( 5 - 1 < x_2 < 5 - 0 \), т.е. \( 4 < x_2 < 5 \). Эта точка \( x_2 \) входит в область определения части параболы, поэтому есть одна точка пересечения с параболой.
• Условие \( m = 1 \) дает одну точку пересечения с параболой в точке (4, 1) и одну точку пересечения с прямой \( y=x-2 \) (т.к. \( 1 = x-2 > x = 3 \), и \( 3 < 4 \) ). Всего 2 точки.
• Условие \( m = 2 \) дает две точки пересечения с параболой \( (x-5)^2=2 \), \( x=5±\sqrt{2} \). \( x_1 = 5+\sqrt{2} \) (\( >4 \)) и \( x_2 = 5-\sqrt{2} \) (\( > 4 \)). Таким образом, только одна точка с параболой. И прямая \( y=2 \) не пересекает часть \( y=x-2 \) т.к. \( 2=x-2 > x=4 \) но область определения \( x<4 \).

Итак, для того чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две общие точки с графиком:

• Прямая \( y = m \) должна пересекать часть параболы и часть прямой.
• Если \( m = 1 \), то \( y=1 \) пересекает параболу в точке (4,1) и прямую \( y=x-2 \) в точке (3,1). Это две точки.
• Если \( 0 < m < 1 \), то \( y=m \) пересекает параболу в двух точках \( x = 5 ± \sqrt{m} \) (одна из них \( < 4 \), другая \( > 4 \)). Для \( x < 4 \) \( y = x-2 \). Если \( m=x-2 \), то \( x=m+2 \). При \( 0 < m < 1 \), \( 2 < x < 3 \), что входит в область \( x < 4 \). Таким образом, при \( 0 < m < 1 \) есть три точки пересечения: \( 5+\sqrt{m} \), \( 5-\sqrt{m} \) (если \( 5-\sqrt{m} > 4 \)) и \( m+2 \).
• Если \( m>2 \), то \( y=m \) пересекает часть параболы \( y=(x-5)^2 \) при \( x > 4 \) в двух точках \( x = 5 ± \sqrt{m} \) (только \( 5+\sqrt{m} \) подходит). Также \( y=m \) пересекает прямую \( y=x-2 \) при \( x=m+2 \). Если \( m>2 \), то \( x>4 \), что не входит в область \( x<4 \). Таким образом, при \( m>2 \) имеется только одна точка пересечения с параболой.
• Если \( 1 < m < 2 \), то \( y=m \) пересекает параболу \( y=(x-5)^2 \) при \( x > 4 \) в одной точке \( x = 5+\sqrt{m} \) (т.к. \( 5-\sqrt{m} < 4 \)). \( y=m \) пересекает прямую \( y=x-2 \) при \( x=m+2 \). При \( 1

Условие: ровно две общие точки.

Рассмотрим случаи:

1. \( m = 1 \): пересекает параболу в (4, 1) и прямую в (3, 1). Всего 2 точки.
2. \( 1 < m < 2 \): пересекает параболу в \( x = 5 + √{m} \) (так как \( 5 - √{m} < 4 \)) и прямую в \( x = m + 2 \) (так как \( 3 < m+2 < 4 \)). Всего 2 точки.

Таким образом, ровно две общие точки будут при \( 1 ≤ m < 2 \).

Ответ: m ∈ [1; 2).