Постройте график функции: y = (x⁴ - 13x² + 36) / ((x-3)(x+2)) и определите, при каких значениях с прямая y=с имеет с графиком ровно одну общую точку. Ответ:

Дано: Функция $$y = \frac{x^4 - 13x^2 + 36}{(x-3)(x+2)}$$.

Найти: Значения $$c$$, при которых прямая $$y=c$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение:

1. Разложим числитель на множители.

   Рассмотрим числитель как квадратный относительно $$x^2$$: $$t = x^2$$. Тогда $$t^2 - 13t + 36$$. Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $$D = (-13)^2 - 4 \times 1 \times 36 = 169 - 144 = 25$$.

   Корни $$t_1 = \frac{13 + \text{sqrt}(25)}{2} = \frac{13+5}{2} = 9$$ и $$t_2 = \frac{13 - \text{sqrt}(25)}{2} = \frac{13-5}{2} = 4$$.

   Следовательно, $$x^2 - 13x^2 + 36 = (x^2 - 9)(x^2 - 4)$$.

   Разложим далее на множители:

   \[ (x^2 - 9)(x^2 - 4) = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2) \]

2. Упростим функцию.

   Подставим разложенный числитель в исходную функцию:

   \[ y = \frac{(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \]

   Сократим общие множители $$(x-3)$$ и $$(x+2)$$, учитывая, что $$x
   eq 3$$ и $$x
   eq -2$$.

   \[ y = (x+3)(x-2) \]

   Раскроем скобки:

   \[ y = x^2 + 3x - 2x - 6 \]

   \[ y = x^2 + x - 6 \]

   Таким образом, график функции совпадает с графиком параболы $$y = x^2 + x - 6$$, но с выколотыми точками при $$x=3$$ и $$x=-2$$.

3. Найдем значения $$y$$ в выколотых точках:
• При $$x=3$$: $$y = 3^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$$. Точка $$(3, 6)$$ выколота.
• При $$x=-2$$: $$y = (-2)^2 + (-2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4$$. Точка $$(-2, -4)$$ выколота.
4. Построим график параболы $$y = x^2 + x - 6$$.

   Вершина параболы находится в точке $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times 1} = -\frac{1}{2}$$.

   Значение $$y$$ в вершине: $$y_в = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = \frac{1 - 2 - 24}{4} = -\frac{25}{4} = -6.25$$.

   Вершина параболы: $$(-0.5, -6.25)$$.

5. Определим, при каких $$c$$ прямая $$y=c$$ имеет ровно одну общую точку с графиком.

   Прямая $$y=c$$ — это горизонтальная прямая. Она будет иметь ровно одну общую точку с графиком в следующих случаях:

   • Когда прямая проходит через вершину параболы, если эта точка не выколота.
   • Когда прямая проходит через выколотую точку, которая является вершиной параболы.
   • Когда прямая проходит через выколотую точку, и эта точка является единственной точкой пересечения.

   В нашем случае, парабола $$y = x^2 + x - 6$$ имеет вершину в точке $$(-0.5, -6.25)$$.

   Случай 1: Прямая проходит через вершину параболы.

   Если $$c = -6.25$$, то прямая $$y = -6.25$$ имеет одну общую точку с параболой (вершину). Эта точка не выколота.

   Случай 2: Прямая проходит через выколотые точки.

   У нас есть две выколотые точки: $$(3, 6)$$ и $$(-2, -4)$$.

   Если $$c = 6$$, прямая $$y=6$$ пересекает параболу в двух точках: $$(3, 6)$$ и $$(-4, 6)$$. Однако, точка $$(3, 6)$$ выколота. Значит, прямая $$y=6$$ имеет только одну общую точку с графиком функции — точку $$(-4, 6)$$.

   Если $$c = -4$$, прямая $$y=-4$$ пересекает параболу в двух точках: $$(-2, -4)$$ и $$(3, -4)$$. Однако, точка $$(-2, -4)$$ выколота. Значит, прямая $$y=-4$$ имеет только одну общую точку с графиком функции — точку $$(3, -4)$$.

Итого, значения $$c$$:

$$c = -6.25$$ (прямая проходит через вершину)

$$c = 6$$ (прямая проходит через выколотую точку $$(3, 6)$$)

$$c = -4$$ (прямая проходит через выколотую точку $$(-2, -4)$$)

Ответ: -6.25; 6; -4