Постройте график функции y = {-x + 1 при x ≤ 1, 1,5x - 1,5 при 1 < x ≤ 4, -2,25x + 13,5 при x > 4. Найдите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Для построения графика функции определим значения функции в граничных точках интервалов:

• При \( x = 1 \): \( y = -1 + 1 = 0 \). Точка \( (1, 0) \).
• При \( x = 4 \): \( y = 1.5 × 4 - 1.5 = 6 - 1.5 = 4.5 \). Точка \( (4, 4.5) \).
• При \( x = 4 \) (предел справа): \( y = -2.25 × 4 + 13.5 = -9 + 13.5 = 4.5 \). Точка \( (4, 4.5) \).

Построим график, состоящий из трех частей:

• Часть 1: \( y = -x + 1 \) при \( x ≤ 1 \). Это луч, исходящий из точки \( (1, 0) \) и идущий вверх влево.
• Часть 2: \( y = 1.5x - 1.5 \) при \( 1 < x ≤ 4 \). Это отрезок, соединяющий точки \( (1, 0) \) (не включая) и \( (4, 4.5) \) (включая).
• Часть 3: \( y = -2.25x + 13.5 \) при \( x > 4 \). Это луч, исходящий из точки \( (4, 4.5) \) (не включая) и идущий вниз вправо.

Теперь найдем значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая. Она будет пересекать график функции в двух точках, если проходит через:

• Вершину параболы (если бы она была), но у нас кусочно-линейная функция.
• Точки излома графика, если они являются максимумами или минимумами.
• Диапазоны значений, где функция монотонна и охватывает две разные точки.

Рассмотрим экстремумы функции:

• В точке \( x = 1 \) функция имеет значение \( y = 0 \).
• В точке \( x = 4 \) функция имеет значение \( y = 4.5 \).

Если \( m = 4.5 \), прямая \( y = 4.5 \) будет иметь две точки пересечения: одна в точке \( (4, 4.5) \), которая является конечной точкой второго отрезка, и вторая точка на третьем луче, где \( -2.25x + 13.5 = 4.5 \) \( → -2.25x = -9 \) \( → x = 4 \). Однако, точка \( x=4 \) включена во вторую часть, а для третьей части \( x>4 \). Значит, \( m=4.5 \) дает только одну точку пересечения \( (4, 4.5) \).

Проанализируем поведение функции:

• Функция убывает от \( +∞ \) до \( 0 \) на \( (-∞, 1] \).
• Функция возрастает от \( 0 \) до \( 4.5 \) на \( (1, 4] \).
• Функция убывает от \( 4.5 \) до \( -∞ \) на \( (4, +∞) \).

Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно две точки пересечения, она должна проходить через:

1. Значение \( y = 0 \) (точка \( (1, 0) \)) и пересекать третий луч. \( y = 0 → -2.25x + 13.5 = 0 → -2.25x = -13.5 → x = 6 \). В этом случае \( m = 0 \) дает две точки: \( (1, 0) \) и \( (6, 0) \).
2. Значение \( y < 0 \). Например, \( m = -1 \). Такая прямая пересечет первый луч и третий луч.
3. Значение \( 0 < m < 4.5 \). Такая прямая пересечет второй отрезок и третий луч.

Значит, для получения ровно двух точек пересечения, прямая \( y=m \) должна находиться в следующих диапазонах:

• \( m < 0 \): одна точка на первом луче, одна точка на третьем луче.
• \( m = 0 \): одна точка на первом луче (\( x=1 \)), одна точка на третьем луче (\( x=6 \)).

Таким образом, \( m < 0 \) или \( m = 0 \). Это можно объединить в \( m ≤ 0 \).

Ответ: \( m ≤ 0 \).