Постройте график функции y = \(\frac{9x+6}{9x^2+x}\).

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{9x+6}{9x^2+x} \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Нахождение области определения: Знаменатель не должен быть равен нулю. \( 9x^2+x
   eq 0 \) \( x(9x+1)
   eq 0 \). Следовательно, \( x
   eq 0 \) и \( x
   eq -\frac{1}{9} \).
2. Упрощение функции (если возможно): Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \( 9x+6 = 3(3x+2) \). Знаменатель: \( 9x^2+x = x(9x+1) \). В данном случае упростить функцию, сократив множители, не удается.
3. Поиск асимптот:
   • Вертикальные асимптоты: Возникают там, где знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю. \( x=0 \) и \( x=-\frac{1}{9} \) являются вертикальными асимптотами.
   • Горизонтальные или наклонные асимптоты: Степень числителя (1) меньше степени знаменателя (2). Следовательно, горизонтальная асимптота — \( y=0 \).
4. Нахождение точек пересечения с осями:
   • С осью OY: Функция не определена при \( x=0 \), поэтому пересечения с осью OY нет.
   • С осью OX: Приравняем числитель к нулю: \( 9x+6 = 0 \) \( 9x = -6 \) \( x = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3} \). Точка пересечения с осью OX: \( (-\frac{2}{3}; 0) \).
5. Исследование знаков функции: Необходимо определить интервалы, на которых функция положительна или отрицательна. Для этого используем найденные точки и асимптоты: \( x = -\frac{1}{9} \), \( x = -\frac{2}{3} \), \( x = 0 \).
6. Построение графика: На основе полученных данных строится график функции.

Примечание: Построение точного графика требует численных методов или специализированного ПО. Представленное ниже является схематическим изображением.

Ответ: Построен график функции с вертикальными асимптотами x=0, x=-1/9 и горизонтальной асимптотой y=0. Точка пересечения с осью OX: (-2/3, 0).