Постройте график функции $$y=\begin{cases} -x^2+10x-21 & \text{при } x \ge 3, \\ -x+3 & \text{при } x<3. \end{cases}$$ Определите, при каких значениях m прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

График состоит из двух частей.

1. Первая часть: парабола \( y = -x^2 + 10x - 21 \) при \( x \ge 3 \).
   Найдем вершину параболы: \( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2(-1)} = 5 \). \( y_в = -(5)^2 + 10(5) - 21 = -25 + 50 - 21 = 4 \). Вершина в точке (5; 4).
   Найдем значение функции при \( x=3 \): \( y = -(3)^2 + 10(3) - 21 = -9 + 30 - 21 = 0 \). Точка (3; 0).
   Ветви параболы направлены вниз.
2. Вторая часть: прямая \( y = -x + 3 \) при \( x < 3 \).
   При \( x=3 \), \( y = -3 + 3 = 0 \). Точка (3; 0).
   При \( x=0 \), \( y = 3 \). Точка (0; 3).
   При \( x=-1 \), \( y = -(-1) + 3 = 4 \). Точка (-1; 4).
3. Построение графика:
   На участке \( x \ge 3 \) строим ветвь параболы с вершиной (5; 4), проходящую через (3; 0).
   На участке \( x < 3 \) строим луч прямой, исходящий из точки (3; 0) и проходящий через (0; 3), (-1; 4).
4. Определение значений \( m \) для \( y = m \):
   Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых эта линия пересекает график ровно в двух точках.
   
   • Если \( m < 0 \), прямая не пересекает график (нет точек).
   • Если \( m = 0 \), прямая пересекает график в одной точке (3; 0).
   • Если \( 0 < m < 4 \), прямая пересекает график в двух точках (одну на луче прямой, другую на параболе).
   • Если \( m = 4 \), прямая пересекает график в двух точках: вершине параболы (5; 4) и на луче прямой (при \( x=-1 \)).
   • Если \( m > 4 \), прямая пересекает график в одной точке (на луче прямой).

Ответ: \( m \) может принимать значения из промежутка \( (0; 4] \).