Постройте график функции y = \(\begin{cases}\) \(\frac{x^2 - 10x + 25}{x-2}\) & \(\text{при }\) x \(\geq\) 4, \\ x-2 & \(\text{при }\) x < 4 \(\end{cases}\)

Решение:

Для построения графика функции, состоящей из двух частей, рассмотрим каждую часть отдельно.

Часть 1: \( y = \frac{x^2 - 10x + 25}{x-2} \) при \( x \geq 4 \).

Преобразуем выражение: \( y = \frac{(x-5)^2}{x-2} \).

Найдем несколько точек для \( x \geq 4 \):

• При \( x = 4 \): \( y = \frac{(4-5)^2}{4-2} = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \). Точка (4, 0.5).
• При \( x = 5 \): \( y = \frac{(5-5)^2}{5-2} = \frac{0}{3} = 0 \). Точка (5, 0).
• При \( x = 6 \): \( y = \frac{(6-5)^2}{6-2} = \frac{1^2}{4} = \frac{1}{4} = 0.25 \). Точка (6, 0.25).

Часть 2: \( y = x-2 \) при \( x < 4 \).

Это уравнение прямой. Найдем несколько точек для \( x < 4 \):

• При \( x = 3 \): \( y = 3 - 2 = 1 \). Точка (3, 1).
• При \( x = 2 \): \( y = 2 - 2 = 0 \). Точка (2, 0).
• При \( x = 0 \): \( y = 0 - 2 = -2 \). Точка (0, -2).
• При \( x = 4 \): \( y = 4 - 2 = 2 \). Отметим, что эта точка не включается в данную часть функции, но важна для определения поведения графика в точке \( x=4 \).

Построение графика:

Ответ: График состоит из части параболы \( y = \frac{(x-5)^2}{x-2} \) для \( x \geq 4 \) и части прямой \( y = x-2 \) для \( x < 4 \).