Постройте график функции y = (2x+1)/(2x^2+x) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

1. Упростим функцию: $$y = \frac{2x+1}{x(2x+1)}$$. При $$x
eq -1/2$$ и $$x
eq 0$$, $$y = \frac{1}{x}$$. График представляет собой гиперболу $$y = \frac{1}{x}$$ с выколотыми точками при $$x=0$$ (вертикальная асимптота) и $$x=-1/2$$. При $$x=-1/2$$, $$y = \frac{1}{-1/2} = -2$$. Таким образом, выколотая точка имеет координаты $$(-1/2, -2)$$.

2. Прямая $$y=kx$$ проходит через начало координат $$(0,0)$$.

3. Чтобы прямая $$y=kx$$ имела ровно одну общую точку с графиком $$y = \frac{1}{x}$$ (с учетом выколотой точки), она либо должна проходить через выколотую точку $$(-1/2, -2)$$, либо быть касательной к гиперболе (что невозможно для прямой, проходящей через начало координат).

4. Найдем $$k$$ для прямой, проходящей через $$(0,0)$$ и $$(-1/2, -2)$$: $$k = \frac{-2 - 0}{-1/2 - 0} = \frac{-2}{-1/2} = 4$$.

Ответ: $$k=4$$.