Постройте график функции y = { 1 1-2 x + 3, при x < 2, 2 12- 3x, при 2 < x < 5 х - 8, при х> 5 При каких значениях т прямая y = т имеет с графиком ровно две общие точки?

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• Для \( x < 2 \): \( y = 1\frac{1}{2}x + 3 \). Это прямая. При \( x = 2 \), \( y = 1\frac{1}{2}(2) + 3 = 3 + 3 = 6 \). Точка \( (2, 6) \) не включается. При \( x = 0 \), \( y = 3 \).
• Для \( 2 \le x \le 5 \): \( y = 12 - 3x \). Это прямая. При \( x = 2 \), \( y = 12 - 3(2) = 12 - 6 = 6 \). Точка \( (2, 6) \) включается. При \( x = 5 \), \( y = 12 - 3(5) = 12 - 15 = -3 \). Точка \( (5, -3) \) включается.
• Для \( x > 5 \): \( y = x - 8 \). Это прямая. При \( x = 5 \), \( y = 5 - 8 = -3 \). Точка \( (5, -3) \) не включается. При \( x = 8 \), \( y = 8 - 8 = 0 \).

График:

Анализ для прямой y = m:

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная линия. Чтобы она имела ровно две общие точки с графиком, она должна пересекать две различные ветви графика.

Рассмотрим значения \( y \) на границах интервалов:

• На интервале \( x < 2 \), \( y \) стремится к \( 6 \) (не включая).
• На интервале \( 2 \le x \le 5 \), \( y \) изменяется от \( 6 \) (включая) до \( -3 \) (включая).
• На интервале \( x > 5 \), \( y \) стремится к \( -3 \) (не включая).

Прямая \( y = m \) будет иметь две общие точки, если:

• \( m \) находится между значением \( y \) на первой ветви (не включая \( 6 \)) и значением \( y \) на второй ветви (включая \( -3 \)). В этом случае \( -3 < m < 6 \).
• \( m \) находится между значением \( y \) на второй ветви (не включая \( -3 \)) и значением \( y \) на третьей ветви (не включая \( -3 \)). Это невозможно, так как обе ветви имеют значение \( -3 \) при \( x=5 \).

Таким образом, для двух пересечений, \( y = m \) должно пересекать первую и вторую ветви, либо вторую и третью ветви.

Пересечение с первой ветвью (y = 1.5x + 3) и второй (y = 12 - 3x) даст две точки, если \( m \) не равно 6 (граничное значение первой ветви) и \( m \) не равно -3 (граничное значение второй ветви). Таким образом, \( -3 < m < 6 \).

Пересечение с второй ветвью (y = 12 - 3x) и третьей (y = x - 8) даст две точки, если \( m \) не равно -3 (граничное значение второй и третьей ветвей). Но так как \( y=m \) — горизонтальная линия, она может пересекать обе ветви только если \( m = -3 \) (что дает одну точку на второй ветви и одну на третьей, если рассматривать предельные значения) или если \( m \) находится между экстремумами. Однако, в нашем случае, \( y = -3 \) — это самая нижняя точка для второй ветви, и она же является пределом для третьей ветви. Прямая \( y = -3 \) пересечет график в точке \( (5, -3) \) (включая) и будет стремиться к \( -3 \) для \( x > 5 \), но не достигнет его. Значит, \( y = -3 \) дает одну точку. Прямая \( y = 6 \) дает одну точку на первой ветви и одну на второй. Таким образом, \( y=6 \) также дает две точки.

Нам нужно ровно две общие точки. Это происходит, когда \( y=m \) пересекает:

1. Первую и вторую ветви: \( -3 < m < 6 \).
2. Вторую и третью ветви: \( m \) находится между \( -3 \) (не включительно, т.к. \( x=5 \) — это одна точка) и \( y \) значениями, которые принимает третья ветвь, когда она пересекает вторую.

Рассмотрим крайние значения: \( y=6 \) (верхняя точка первой и второй ветвей) и \( y=-3 \) (нижняя точка второй и предельная для третьей ветви).

Если \( y = m \) проходит через \( (2, 6) \), то \( m = 6 \). Это одна точка на первой ветви (предел) и одна точка на второй ветви. Итого 2 точки.

Если \( y = m \) проходит через \( (5, -3) \), то \( m = -3 \). Это одна точка на второй ветви и одна точка на третьей ветви (предел). Итого 2 точки.

Если \( -3 < m < 6 \), то \( y = m \) пересекает первую ветвь (где \( y < 6 \)) и вторую ветвь (где \( -3 < y < 6 \)). Это дает две точки.

Итак, \( y = m \) имеет ровно две общие точки, когда \( m \) находится в диапазоне \( (-3, 6) \), включая \( m=6 \) и \( m=-3 \).

Таким образом, \( -3 \le m \le 6 \).

Ответ: \( m \in [-3; 6] \).