Постройте график функции y = (0,25x²+x)·|x| / x+4. Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет общей точки.

Решение:

Для построения графика функции \( y = \frac{(0.25x^2+x) \cdot |x|}{x+4} \) рассмотрим два случая в зависимости от знака \( x \).

Случай 1: \( x \geq 0 \)

В этом случае \( |x| = x \), и функция принимает вид:

\[ y = \frac{(0.25x^2+x) \cdot x}{x+4} = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \]

Разложим числитель на множители:

\[ 0.25x^3+x^2 = x^2(0.25x+1) \]

Тогда:

\[ y = \frac{x^2(0.25x+1)}{x+4} \]

Найдем точки пересечения с осями:

При \( x = 0 \), \( y = 0 \).

При \( y = 0 \), \( x^2(0.25x+1) = 0 \), что дает \( x = 0 \) или \( 0.25x+1=0 \) \(\implies x = -4 \). Но так как мы рассматриваем \( x \geq 0 \), то единственная точка пересечения — \( (0, 0) \).

Найдем асимптоты:

Вертикальная асимптота: \( x = -4 \). Однако, так как мы рассматриваем \( x \geq 0 \), эта асимптота не будет влиять на график в данной области.

Наклонная асимптота: \( y = kx + b \).

\[ k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{0.25x^3+x^2}{x(x+4)} = \lim_{x \to \infty} \frac{0.25x^3+x^2}{x^2+4x} = \lim_{x \to \infty} \frac{0.25x+1}{1+4/x} = \infty \]

Наклонной асимптоты нет. Проверим наличие горизонтальной асимптоты:

\[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} = \infty \]

График будет стремиться к \( \infty \) при \( x \to \infty \).

Рассмотрим поведение функции вблизи \( x = -4 \) (хотя это не область рассмотрения, но важно для понимания поведения функции).

Если \( x \to -4^+ \), то \( x+4 \to 0^+ \) и \( (0.25x^2+x) \cdot x \to (0.25(16)-4)(-4) = (4-4)(-4) = 0 \). Требуется более детальное исследование предела.

Случай 2: \( x < 0 \)

В этом случае \( |x| = -x \), и функция принимает вид:

\[ y = \frac{(0.25x^2+x) \cdot (-x)}{x+4} = \frac{-0.25x^3-x^2}{x+4} \]

Найдем точки пересечения с осями:

При \( x = 0 \) (но мы рассматриваем \( x < 0 \)), \( y = 0 \).

При \( y = 0 \), \( -0.25x^3-x^2 = 0 \) \(\implies -x^2(0.25x+1) = 0 \). Это дает \( x = 0 \) (не входит в область) или \( 0.25x+1 = 0 \) \(\implies x = -4 \). Точка пересечения с осью x: \( (-4, 0) \).

Вертикальная асимптота: \( x = -4 \). При \( x \to -4^- \), числитель \( -0.25(-4)^3 - (-4)^2 = -0.25(-64) - 16 = 16 - 16 = 0 \). Это неопределённость вида \( \frac{0}{0} \). Используем правило Лопиталя или упрощаем.

Упростим функцию для \( x \neq -4 \):

\[ y = \frac{-0.25x^3-x^2}{x+4} = \frac{-x^2(0.25x+1)}{x+4} \]

Произведем деление многочленов или преобразуем числитель:

\[ 0.25x+1 = 0.25(x+4) \]

Тогда:

\[ y = \frac{-x^2 \cdot 0.25(x+4)}{x+4} = -0.25x^2 \]

Таким образом, для \( x < 0 \) и \( x \neq -4 \), функция равна \( y = -0.25x^2 \), что является частью параболы. При \( x = -4 \), функция не определена, но предел функции при \( x \to -4 \) равен \( -0.25(-4)^2 = -0.25(16) = -4 \). Значит, в точке \( x = -4 \) есть разрыв, и мы имеем дело с параболой \( y = -0.25x^2 \) с выколотой точкой \( (-4, -4) \).

Объединение случаев:

Для \( x \geq 0 \), график — часть параболы \( y = 0.25x^2+x \) (если раскрыть скобки \( \frac{x^2(0.25x+1)}{x+4} \) и упростить, это не даст \( 0.25x^2+x \)).

Давайте пересмотрим случай \( x \geq 0 \):

\[ y = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \]

Рассмотрим график функции \( y = -0.25x^2 \) для \( x < 0 \) (кроме \( x = -4 \)) и график функции \( y = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \) для \( x \geq 0 \).

Точки для \( y = -0.25x^2 \) при \( x < 0 \):

• \( x = -1 \implies y = -0.25(-1)^2 = -0.25 \)
• \( x = -2 \implies y = -0.25(-2)^2 = -1 \)
• \( x = -3 \implies y = -0.25(-3)^2 = -2.25 \)
• \( x = -4 \implies y = -4 \) (выколотая точка)

Точки для \( y = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \) при \( x \geq 0 \):

• \( x = 0 \cdot y = 0 \)
• \( x = 1 \cdot y = \frac{0.25+1}{1+4} = \frac{1.25}{5} = 0.25 \)
• \( x = 2 \cdot y = \frac{0.25(8)+4}{2+4} = \frac{2+4}{6} = 1 \)
• \( x = 4 \cdot y = \frac{0.25(64)+16}{4+4} = \frac{16+16}{8} = 4 \)

Максимальное значение функции на \( x < 0 \) достигается при \( x \to 0 \), \( y \to 0 \). Минимальное значение функции на \( x < 0 \) стремится к \( -\infty \) при \( x \to -4^+ \) (если функция там не определена) или к \( -4 \) в выколотой точке. Для \( x < -4 \), \( y = -0.25x^2 \) также принимает положительные значения. Предел при \( x \to -4^- \) равен \( -4 \).

Определение значений \( m \)

Прямая \( y = m \) не имеет общих точек с графиком функции, если значение \( m \) находится ниже минимального значения функции или между значениями, которые функция не принимает.

Рассмотрим диапазон значений функции:

• Для \( x < 0 \) (и \( x \neq -4 \)), \( y = -0.25x^2 \). Максимальное значение в этой области — \( 0 \) (при \( x \cdot 0 \)). Значения в этой части графика лежат в интервале \( (-\infty, 0] \).
• Для \( x \geq 0 \), \( y = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \). При \( x=0 \), \( y=0 \). При \( x \cdot \infty \), \( y \to \infty \).

Нам нужно найти значения \( m \), для которых уравнение \( y(x) = m \) не имеет решений.

Рассмотрим график функции \( y = -0.25x^2 \) для \( x < 0 \). Ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение — 0. При \( x \to -4 \), \( y \to -4 \).

Рассмотрим график функции \( y = \frac{0.25x^3+x^2}{x+4} \) для \( x \geq 0 \). При \( x = 0 \), \( y = 0 \). Функция возрастает на \( [0, \infty) \) (нужно проверить производную).

Производная для \( x \cdot 0 \):

\[ y' = \frac{(0.75x^2+2x)(x+4) - (0.25x^3+x^2)}{(x+4)^2} = \frac{0.75x^3+3x^2+2x^2+8x - 0.25x^3-x^2}{(x+4)^2} = \frac{0.5x^3+4x^2+8x}{(x+4)^2} = \frac{x(0.5x^2+4x+8)}{(x+4)^2} \]

Дискриминант \( 0.5x^2+4x+8 \) равен \( 4^2 - 4(0.5)(8) = 16 - 16 = 0 \). Следовательно, \( 0.5x^2+4x+8 > 0 \) для всех \( x \).

Таким образом, для \( x > 0 \), \( y' > 0 \), то есть функция возрастает.

График для \( x < 0 \) — часть параболы \( y = -0.25x^2 \) с выколотой точкой \( (-4, -4) \), которая идет от \( y=0 \) вниз, приближаясь к \( y=-4 \) при \( x \cdot -4 \) и уходя в \( y = -\infty \) при \( x \cdot -4^+ \).

График для \( x \geq 0 \) — возрастающая ветвь, начинающаяся от \( (0,0) \) и уходящая в \( +\infty \).

Значения функции на \( x < 0 \) находятся в интервале \( (-\infty, 0] \).

Значения функции на \( x \geq 0 \) находятся в интервале \( [0, \infty) \).

Объединяя оба случая, значения функции находятся во всей числовой прямой \( (-\infty, \infty) \), за исключением значения в выколотой точке \( y = -4 \).

Значит, прямая \( y=m \) не имеет общих точек с графиком, если \( m = -4 \).

Ответ: m = -4.